设a＞e，0＜x＜y＜，求证ay-ax＞(cosx-cosy)axlna．

admin2018-06-27 45

问题设a＞e，0＜x＜y＜

，求证a^y-a^x＞(cosx-cosy)a^xlna．

选项

答案把不等式改写成 [*] 注意到(a^x)’=axlna，(cosx)’=-sinx，而｜sinx｜≤1．对f(t)=a^t，g(t)=cost，在区间[x，y]上应用柯西中值定理，即知存在满足0＜x＜ξ＜y＜[*]的ξ，使得 [*] 由于a^x＜a^ξ，0＜sinξ＜1，故由上式可得 a^y-a^x＞(cosx-cosy)a^xlna．

解析

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