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设a1,a2,…,an是n个互不相同的数,b1,b2,…,bn是任意一组给定的数,证明:存在唯一的多项式f(x)=C0xn-1+C1xn-2+…+Cn-1,使得f(ai)=bi(i=1,2,…,n).
设a1,a2,…,an是n个互不相同的数,b1,b2,…,bn是任意一组给定的数,证明:存在唯一的多项式f(x)=C0xn-1+C1xn-2+…+Cn-1,使得f(ai)=bi(i=1,2,…,n).
admin
2017-06-14
24
问题
设a
1
,a
2
,…,a
n
是n个互不相同的数,b
1
,b
2
,…,b
n
是任意一组给定的数,证明:存在唯一的多项式f(x)=C
0
x
n-1
+C
1
x
n-2
+…+C
n-1
,使得f(a
i
)=b
i
(i=1,2,…,n).
选项
答案
设f(x)=C
0
x
n-1
+C
1
x
n-2
+…+C
n-1
即是该多项式,则有 [*] 上述非齐次线方程组因为其系数行列式为n阶范德蒙行列式,又因a
1
,a
2
,…,a
n
互不相同,故D
n
=V
b
≠0,由克莱姆法则知方程组存在唯一解(C
0
,C
1
,…,C
n-1
),故存在唯一的多项式f(x),使得f(a
i
)=b
i
(i=1,2,…,n).
解析
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考研数学一
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