设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0．若A的秩为3，则A相似于

admin2017-04-24 57

问题设A为4阶实对称矩阵，且A²+A=0．若A的秩为3，则A相似于

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析设λ为A的特征值且ξ为对应的特征向量，则有A^mξ=λ^mξ(m=1，2，…)，故有
(A²+A)ξ=Oξ=0，
即 (λ²+λ)ξ=0，
因ξ≠0，得λ²+λ=0，从而有λ=0或λ=一1，又因r(A)=3，所以A的非零特征值有3个，有1个特征值为0，即A的全部特征值为：一1，一1，一1，0，所以只有选项(D)正确．
设A按列分块为A=[α₁，α₂，α₃，α₄]，由r(A)=3，知A的列向量组的极大无关组含3个向量，不妨设α₁，α₂，α₃是A的列向量组的极大无关组．由于A²=一A，即
A[α₁，α₂，α₃，α₄]=一[α₁，α₂，α₃，α₄]，
即 [Aα₁ Aα₂ Aα₃ Aα₄]=[一α₁一α₂一α₃一α₄]，
得Aα_j=一α_j，j=1，2，3，4．
由此可知一1是A的特征值值且α₁，α₂，α₃为对应的3个线性无关的特征向量，故一1至少是A的3重特征值．
而r(A)=3＜4，知0也是A的一个特征值，于是知A的全部特征值为：一1，一1，一1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故A相似于对角矩阵D=diag(一1，一1，一1，0)，故选项(D)正确．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Dft4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0．若A的秩为3，则A相似于

考研数学二

[*]

∫x14/(x5+1)4dx=________

判断是否为方程xy’－y=xex的通解。

设函数y=y(x)在(－∞,+∞)内具有二阶导数，且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程。

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0).当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值。

设f(x)是以T为周期的连续函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T为周期的连续函数，则b=________．

设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f"(x)＞0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b-a)，S3=(b-a)/2[f(a)+f(b)]，则()．

已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a＞0)，在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1、1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3，(I)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．

设函数问函数f(x)在x＝1处是否连续?若不连续，修改函数在x＝1处的定义使之连续．

常用的8种铰刀用途分别是什么?

中古文学的突出特征。

“蝉噪林愈静，鸟鸣山更幽”体现了矛盾的()

女性，55岁，4年来逐渐出现上腹胀满，食欲减退，伴舌炎及巨幼红细胞贫血，胃镜见胃黏膜，红白相间以白为主，该患诊断首先考虑

住宅强化复合地板属无黏结铺设，关于该地板的工程做法，下列哪条是错误的?[2006—100]

投资顾问在对客户的现金流量表分析时，应重点关注()。Ⅰ．具体分析各项收入、支出的数额及其在总额中的占比Ⅱ．分析客户的净资产Ⅲ．对客户财务状况影响较大的经常性项目应重点关注Ⅳ．分析客户的净现金流量

下列教学活动中属于学校进行德育教育的是()。