设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0．若A的秩为3，则A相似于

admin2017-04-24 51

问题设A为4阶实对称矩阵，且A²+A=0．若A的秩为3，则A相似于

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析设λ为A的特征值且ξ为对应的特征向量，则有A^mξ=λ^mξ(m=1，2，…)，故有
(A²+A)ξ=Oξ=0，
即 (λ²+λ)ξ=0，
因ξ≠0，得λ²+λ=0，从而有λ=0或λ=一1，又因r(A)=3，所以A的非零特征值有3个，有1个特征值为0，即A的全部特征值为：一1，一1，一1，0，所以只有选项(D)正确．
设A按列分块为A=[α₁，α₂，α₃，α₄]，由r(A)=3，知A的列向量组的极大无关组含3个向量，不妨设α₁，α₂，α₃是A的列向量组的极大无关组．由于A²=一A，即
A[α₁，α₂，α₃，α₄]=一[α₁，α₂，α₃，α₄]，
即 [Aα₁ Aα₂ Aα₃ Aα₄]=[一α₁一α₂一α₃一α₄]，
得Aα_j=一α_j，j=1，2，3，4．
由此可知一1是A的特征值值且α₁，α₂，α₃为对应的3个线性无关的特征向量，故一1至少是A的3重特征值．
而r(A)=3＜4，知0也是A的一个特征值，于是知A的全部特征值为：一1，一1，一1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故A相似于对角矩阵D=diag(一1，一1，一1，0)，故选项(D)正确．

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考研数学二

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