求内接于(其中a，b，c＞0)的长方体体积的最大值。

admin2019-01-25 13

问题求内接于

(其中a，b，c＞0)的长方体体积的最大值。

选项

答案设内接于已知椭球面[*]的长方体的体积为v，且点A(x，y，z)是长方体在第一卦限内的一个顶点。由于椭球面关于三个坐标轴均对称，因此v＝8xyz且满足[*](其中a，b，c＞0)。构造拉格朗日函数，设 [*] 对x，y，z，λ分别求偏导数，并令其等于0， [*] 上述方程组的前三个式子分别乘以x，y，z，则有 [*] 可得λ＝0时，8xyz＝0，不合题意，因此有[*]，结合方程组的第四个式子有 [*] 解得[*]，同理有[*]。根据题意，内接长方体没有最小值，但存在最大值，因此对应第一卦限顶点为[*]的长方体体积最大，最大值为 [*]

解析本题考查条件极值。根据题意找出长方体体积的表达式，结合已知条件构造拉格朗日函数，对函数中各个变量求偏导令其等于0，求出各驻点，比较各驻点的函数值。

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考研数学三

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