设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明:存在ξ,η∈(0,1),使得4/πf’(x)=(1+η2)f’(η).

admin2022-10-12  32

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明:存在ξ,η∈(0,1),使得4/πf’(x)=(1+η2)f’(η).

选项

答案令g(x)=arctanx,g’(x)=1/(1+x2)≠0(x≠0),由柯西中值定理,存在η∈(0,1)。使得[f(1)-f(0)]/[g(1)-g(0)]=f’(η)/g’(η),即4/π·[f(1)-f(0)]=(1+η2)f’(η),再由拉格朗日中值定理,存在ξ∈(0,1),使得f(1)-f(0)=f’(ξ),故4/πf’(ξ)=(1+η2)f’(η).

解析
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