设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得4/πf’(x)=(1+η2)f’(η)．

admin2022-10-12 51

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得4/πf’(x)=(1+η²)f’(η)．

选项

答案令g(x)=arctanx，g’(x)=1/(1+x²)≠0(x≠0)，由柯西中值定理，存在η∈(0，1)。使得[f(1)-f(0)]/[g(1)-g(0)]=f’(η)/g’(η)，即4/π·[f(1)-f(0)]=(1+η²)f’(η)，再由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得f(1)-f(0)=f’(ξ)，故4/πf’(ξ)=(1+η²)f’(η)．

解析

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考研数学三

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