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设矩阵A=,矩阵B=(μE﹢A)n,其中μ是实数,E是单位矩阵.求对角矩阵A,使B~A,并讨论B的正定性.
设矩阵A=,矩阵B=(μE﹢A)n,其中μ是实数,E是单位矩阵.求对角矩阵A,使B~A,并讨论B的正定性.
admin
2018-12-21
47
问题
设矩阵A=
,矩阵B=(μE﹢A)
n
,其中μ是实数,E是单位矩阵.求对角矩阵A,使B~A,并讨论B的正定性.
选项
答案
由|λE-A|=[*]=(λ﹢2)[(λ-1)
2
-1]=(λ﹢2)λ(λ-2),知A有特征值λ
1
=-2,λ
2
=0,λ
3
=-2. 由于A是实对称矩阵(或A有三个不同的特征值),故A~[*]=A
1
,所以存在正交矩阵P,使得P
-1
AP=A
1
,故A=PA
1
P
-1
,代入矩阵B,有B=(μE﹢A)
n
=(μPP
-1
﹢PA
1
P
-1
)
n
=[P(μE﹢A
1
)P
-1
]
n
=P(μE﹢A
1
)
n
P
-1
[*] 当n=2k(k=0,1,2,…)且μ≠,μ≠2,μ≠-2时,A正定,则B正定; 当n=2k﹢1(k=0,1,2,…)且μ>2时,A正定,则B正定.
解析
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考研数学二
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