2. 考研
  3. 设矩阵A＝，矩阵B＝(μE﹢A)n，其中μ是实数，E是单位矩阵．求对角矩阵A，使B～A，并讨论B的正定性．

设矩阵A＝，矩阵B＝(μE﹢A)n，其中μ是实数，E是单位矩阵．求对角矩阵A，使B～A，并讨论B的正定性．

admin2018-12-21  49
问题 设矩阵A＝，矩阵B＝(μE﹢A)n，其中μ是实数，E是单位矩阵．求对角矩阵A，使B～A，并讨论B的正定性．
选项
答案由｜λE－A｜＝[*]＝(λ﹢2)[(λ－1)2－1]＝(λ﹢2)λ(λ－2)，知A有特征值λ1＝－2，λ2＝0，λ3＝－2． 由于A是实对称矩阵(或A有三个不同的特征值)，故A～[*]＝A1，所以存在正交矩阵P，使得P－1AP=A1，故A＝PA1P－1，代入矩阵B，有B＝(μE﹢A)n＝(μPP－1﹢PA1P－1)n＝[P(μE﹢A1)P－1]n＝P(μE﹢A1)nP－1 [*] 当n=2k(k＝0，1，2，…)且μ≠，μ≠2，μ≠－2时，A正定，则B正定； 当n＝2k﹢1(k＝0，1，2，…)且μ>2时，A正定，则B正定．
解析
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考研数学二

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