设矩阵A=,矩阵B=(μE﹢A)n,其中μ是实数,E是单位矩阵.求对角矩阵A,使B~A,并讨论B的正定性.

admin2018-12-21  27

问题 设矩阵A=,矩阵B=(μE﹢A)n,其中μ是实数,E是单位矩阵.求对角矩阵A,使B~A,并讨论B的正定性.

选项

答案由|λE-A|=[*]=(λ﹢2)[(λ-1)2-1]=(λ﹢2)λ(λ-2),知A有特征值λ1=-2,λ2=0,λ3=-2. 由于A是实对称矩阵(或A有三个不同的特征值),故A~[*]=A1,所以存在正交矩阵P,使得P-1AP=A1,故A=PA1P-1,代入矩阵B,有B=(μE﹢A)n=(μPP-1﹢PA1P-1)n=[P(μE﹢A1)P-1]n=P(μE﹢A1)nP-1 [*] 当n=2k(k=0,1,2,…)且μ≠,μ≠2,μ≠-2时,A正定,则B正定; 当n=2k﹢1(k=0,1,2,…)且μ>2时,A正定,则B正定.

解析
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