三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y21＋y22－2y23，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a1＝，求此二次型．

admin2019-11-25 52

问题三元二次型f＝X^TAX经过正交变换化为标准形f＝y²₁＋y²₂－2y²₃，且A^*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a₁＝

，求此二次型．

选项

答案因为f＝X^TAX经过正交变换后的标准形为f＝y²₁＋y²₂－2y²₃，所以矩阵A的特征值为λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝－2．由｜A｜＝λ₁λ₂λ₃＝－2得A^*的特征值μ₁＝μ₂＝－2，μ₃＝l，从而A^*＋2E的特征值为0，0，3，即a₁为A^*＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃＝－2的特征向量．令A的属于特征值λ₁＝λ₂＝1的特征向量为a＝[*]，因为A为实对称矩阵，所以有 a^T₁a＝0，即x₁＋x₃＝0，故矩阵A的属于λ₁＝λ₂＝1的特征向量为 a₂＝[*]，a₃＝[*]，令P＝(a₂，a₂，a₃)＝[*]，由P^－1AP＝[*]，得A＝P[*]P^－1＝[*]，所求的二次型为 f＝X^TAX＝－[*]x²₁＋x²₂－[*]x²₃－3x₁₃．

解析

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考研数学三

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