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三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y21+y22-2y23,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为a1=,求此二次型.
三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y21+y22-2y23,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为a1=,求此二次型.
admin
2019-11-25
36
问题
三元二次型f=X
T
AX经过正交变换化为标准形f=y
2
1
+y
2
2
-2y
2
3
,且A
*
+2E的非零特征值对应的特征向量为a
1
=
,求此二次型.
选项
答案
因为f=X
T
AX经过正交变换后的标准形为f=y
2
1
+y
2
2
-2y
2
3
,所以矩阵A的特征值 为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=-2.由|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=-2得A
*
的特征值μ
1
=μ
2
=-2,μ
3
=l, 从而A
*
+2E的特征值为0,0,3,即a
1
为A
*
+2E的属于特征值3的特征向量,故也为A的属于特征值λ
3
=-2的特征向量. 令A的属于特征值λ
1
=λ
2
=1的特征向量为a=[*],因为A为实对称矩阵,所以有 a
T
1
a=0,即x
1
+x
3
=0,故矩阵A的属于λ
1
=λ
2
=1的特征向量为 a
2
=[*],a
3
=[*], 令P=(a
2
,a
2
,a
3
)=[*],由P
-1
AP=[*], 得A=P[*]P
-1
=[*],所求的二次型为 f=X
T
AX=-[*]x
2
1
+x
2
2
-[*]x
2
3
-3x
1
3
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/EBD4777K
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考研数学三
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