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  3. 三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y21＋y22－2y23，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a1＝，求此二次型．

三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y21＋y22－2y23，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a1＝，求此二次型．

admin2019-11-25  32
问题 三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y21＋y22－2y23，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a1＝，求此二次型．
选项
答案因为f＝XTAX经过正交变换后的标准形为f＝y21＋y22－2y23，所以矩阵A的特征值 为λ1＝λ2＝1，λ3＝－2．由｜A｜＝λ1λ2λ3＝－2得A*的特征值μ1＝μ2＝－2，μ3＝l， 从而A*＋2E的特征值为0，0，3，即a1为A*＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3＝－2的特征向量． 令A的属于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量为a＝[*]，因为A为实对称矩阵，所以有 aT1a＝0，即x1＋x3＝0，故矩阵A的属于λ1＝λ2＝1的特征向量为 a2＝[*]，a3＝[*]， 令P＝(a2，a2，a3)＝[*]，由P－1AP＝[*]， 得A＝P[*]P－1＝[*]，所求的二次型为 f＝XTAX＝－[*]x21＋x22－[*]x23－3x13．
解析
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考研数学三

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