三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y21＋y22－2y23，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a1＝，求此二次型．

admin2019-11-25 38

问题三元二次型f＝X^TAX经过正交变换化为标准形f＝y²₁＋y²₂－2y²₃，且A^*＋2E的非零特征值对应的特征向量为a₁＝

，求此二次型．

选项

答案因为f＝X^TAX经过正交变换后的标准形为f＝y²₁＋y²₂－2y²₃，所以矩阵A的特征值为λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝－2．由｜A｜＝λ₁λ₂λ₃＝－2得A^*的特征值μ₁＝μ₂＝－2，μ₃＝l，从而A^*＋2E的特征值为0，0，3，即a₁为A^*＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃＝－2的特征向量．令A的属于特征值λ₁＝λ₂＝1的特征向量为a＝[*]，因为A为实对称矩阵，所以有 a^T₁a＝0，即x₁＋x₃＝0，故矩阵A的属于λ₁＝λ₂＝1的特征向量为 a₂＝[*]，a₃＝[*]，令P＝(a₂，a₂，a₃)＝[*]，由P^－1AP＝[*]，得A＝P[*]P^－1＝[*]，所求的二次型为 f＝X^TAX＝－[*]x²₁＋x²₂－[*]x²₃－3x₁₃．

解析

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考研数学三

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试证明：曲线恰有三个拐点，且位于同一条直线上．

已知A，B均是2×4矩阵，且AX=0有基础解系α1=[1，1，2，1]T，α2=[0，一3，1，0]T；BX=0有基础解系β1=[1，3，0，2]T，β2=[1，2，一1，a]T．(1)求矩阵A；(2)若AX=0和BX=0有非

设n维向量αs可由α1，α2，…，αs-1唯一线性表示，其表出式为αs=α1+2α2+3α3+…+(s一1)αs-1(1)证明齐次线性方程组α1x1+α2x2+…+αi-1xi-1+αi+1xi+1+…+αsxs=0(

设f(x)=f(一x)，且在(0，+∞)内二阶可导，又f’(x)＞0，f"(x)＜0，则f(x)在(一∞，0)内的单调性和图形的凹凸性是()

设f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内存在二阶导数，且f(0)=f(1).证明：存在ξ∈(0，1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．

设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．

设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，且X，Y相互独立，记随机变量Z=X+2Y。(Ⅰ)求Z的概率密度；(Ⅱ)求EZ，DZ。

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建筑工地上用以拌制混合砂浆的石灰膏必须经过一定时间的陈伏，这是为了消除()的不利影响。

民事法律关系的终止，是指某类民事法律关系主体之间的权利义务不复存在，彼此丧失了(　　)。法律关系内容变更中，一方的权利增加，也就意味着另一方的(　　)。

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