设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f′(0)=0，f(1)=1，证明对于任意给定的正数a，b，在(0，1)内至少存在两个不同的点ξ，η，使得

admin2021-01-30 18

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f′(0)=0，f(1)=1，证明对于任意给定的正数a，b，在(0，1)内至少存在两个不同的点ξ，η，使得

选项

答案由于f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，由介值定理可知，存在一点x₀∈(0，1)，使得[*]又因为f(x)在(0，1)内可导，由拉格朗日中值定理可知，至少存在ξ∈(0，x₀)，η∈(x₀，1)，使得 f(x₀)一f(0)=f′(ξ)x₀，f(1)-f(x₀)=f′(η)(1一x₀)．整理得 [*] 从而有 [*] 故 [*]

解析

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考研数学一

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