已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak=0，试证明矩阵E-A可逆，并求出逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵)．

admin2020-01-15 40

问题已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得A^k=0，试证明矩阵E-A可逆，并求出逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵)．

选项

答案由代数公式1-a^k=(1-a)(1+a+…+a^k-1)以及A与E可交换，有E-A^k=(E-A)(E+A+…+A^k-1)，而A^k=0，故有(E-A)(E+A+…+A^k-1)=E．可知E-A可逆，且有(E-A)^-1=E+A+…+A^k-1．

解析

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