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  3. 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )

设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )

admin2018-07-26  35
问题 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则(    )
选项 A、E－ααT不可逆．
B、E+ααT不可逆．
C、E+2ααT不可逆．
D、E－2ααT不可逆．
答案A
解析 1 如果取2维单位向量α=，则题中4个选项中的矩阵依次为

其中只有选项A中的矩阵是不可逆的，其余均可逆，故选A．
2 对于任意的n维单位列向量α，可以证明选项A中的矩阵的行列式必等于零，为简明起见，以n=3为例来证明(一般情形的证明类似)．设α=(α1，α2，α3)T是任意的3维单位列向量，则a12+a22+a32=1，选项A中的矩阵的行列式为(不妨设a1≠0)
det(E－ααT)

分别将第2行的a2倍、第3行的a3倍加到第1行上去，并利用a12+a22+a32=1，得行列式的第1行为零行，故该行列式等于零，从而知选项A中的矩阵是不可逆的，故选A．
3 对于单位列向量α，有αTα=1，由于
(E－ααT)α=α－α(αTα)=α－α=0，
故齐次线性方程组(E－ααT)x=0存在非零解α，因此矩阵E－ααT不可逆，故选A．
4 对于单位列向量α，有αTα=1，于是有
(E+ααT)(E－α(αTα)αT=E，
(E+ααT)－1=E－ααT；
(E+2ααT)(E－α(αTα)αT=E，
(E+2ααT)－1=E－ααT；
(E－2ααT)(E－2ααT)=E－2ααT－2αTα+4α(αTα)αT=E，
(E－2ααT)－1=E－2ααT
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考研数学三

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