设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )

admin2018-07-26 48

问题设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )

选项 A、E－αα^T不可逆．
B、E+αα^T不可逆．
C、E+2αα^T不可逆．
D、E－2αα^T不可逆．

答案A

解析 1 如果取2维单位向量α=

，则题中4个选项中的矩阵依次为

其中只有选项A中的矩阵是不可逆的，其余均可逆，故选A．
2 对于任意的n维单位列向量α，可以证明选项A中的矩阵的行列式必等于零，为简明起见，以n=3为例来证明(一般情形的证明类似)．设α=(α₁，α₂，α₃)^T是任意的3维单位列向量，则a₁²+a₂²+a₃²=1，选项A中的矩阵的行列式为(不妨设a₁≠0)
det(E－αα^T)

分别将第2行的a₂倍、第3行的a₃倍加到第1行上去，并利用a₁²+a₂²+a₃²=1，得行列式的第1行为零行，故该行列式等于零，从而知选项A中的矩阵是不可逆的，故选A．
3 对于单位列向量α，有α^Tα=1，由于
(E－αα^T)α=α－α(α^Tα)=α－α=0，
故齐次线性方程组(E－αα^T)x=0存在非零解α，因此矩阵E－αα^T不可逆，故选A．
4 对于单位列向量α，有α^Tα=1，于是有
(E+αα^T)(E－