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(2002年)(I)验证函数满足微分方程y"+y′+y=ex: (Ⅱ)利用(I)的结果求幂级数的和函数。
(2002年)(I)验证函数满足微分方程y"+y′+y=ex: (Ⅱ)利用(I)的结果求幂级数的和函数。
admin
2018-03-11
50
问题
(2002年)(I)验证函数
满足微分方程y"+y′+y=e
x
:
(Ⅱ)利用(I)的结果求幂级数
的和函数。
选项
答案
(I)因为幂级数[*]的收敛域是(一∞,+∞),因而可在(一∞,+∞)上逐项求导,得 [*] (Ⅱ)与y"+y′+y=e
x
相应的齐次微分方程为y"+y′+y=0,其特征方程为 λ
2
+λ+1=0, 特征根为[*]因此齐次微分方程的通解为 [*] 设非齐次微分方程的特解为y
*
=Ae
x
,将y
*
代入方程y"+y′+y=e
x
可得[*]则有[*]于是,方程通解为 [*] 当x=0时,有 [*] 解方程组得[*]C
2
=0。 于是幂级数[*]的和函数为 [*]
解析
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考研数学一
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