(2002年)(I)验证函数满足微分方程y"+y′+y=ex： (Ⅱ)利用(I)的结果求幂级数的和函数。

admin2018-03-11 33

问题 (2002年)(I)验证函数

满足微分方程y"+y′+y=e^x：
(Ⅱ)利用(I)的结果求幂级数

的和函数。

选项

答案(I)因为幂级数[*]的收敛域是(一∞，+∞)，因而可在(一∞，+∞)上逐项求导，得 [*] (Ⅱ)与y"+y′+y=e^x相应的齐次微分方程为y"+y′+y=0，其特征方程为 λ²+λ+1=0，特征根为[*]因此齐次微分方程的通解为 [*] 设非齐次微分方程的特解为y^*=Ae^x，将y^*代入方程y"+y′+y=e^x可得[*]则有[*]于是，方程通解为 [*] 当x=0时，有 [*] 解方程组得[*]C₂=0。于是幂级数[*]的和函数为 [*]

解析

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