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(2009年)若二阶常系数齐次线性微分方程y"+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y"+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解为y=____________。
(2009年)若二阶常系数齐次线性微分方程y"+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y"+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解为y=____________。
admin
2018-03-11
46
问题
(2009年)若二阶常系数齐次线性微分方程y"+ay′+by=0的通解为y=(C
1
+C
2
x)e
x
,则非齐次方程y"+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解为y=____________。
选项
答案
x(1一e
x
)+2
解析
由y"+ay′+by=0的通解为y=(C
1
+C
2
x)e
x
可知,y
1
=e
x
,y
2
=xe
x
为其线性无关解。因此λ=1是其特征方程λ
2
+aλ+b=0的根,从而a=一2,b=1。
微分方程为y"一2y′+y=x。设特解y
*
=Ax+B,可得一2A+Ax+B=x,故A=1,一2+B=0,B=2,故特解y
*
=x+2,且y=(C
1
+C
2
x)e
x
+x+2。把y(0)=2,y′(0)=0代入,得C
1
=0,C
2
=一1。
因此所求为 y=x(1一e
x
)+2。
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