(2009年)若二阶常系数齐次线性微分方程y"+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y"+ay′+by=x满足条件y(0)=2，y′(0)=0的解为y=____________。

admin2018-03-11 68

问题 (2009年)若二阶常系数齐次线性微分方程y"+ay′+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x，则非齐次方程y"+ay′+by=x满足条件y(0)=2，y′(0)=0的解为y=____________。

选项

答案x(1一e^x)+2

解析由y"+ay′+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x可知，y₁=e^x，y₂=xe^x为其线性无关解。因此λ=1是其特征方程λ²+aλ+b=0的根，从而a=一2，b=1。
微分方程为y"一2y′+y=x。设特解y^*=Ax+B，可得一2A+Ax+B=x，故A=1，一2+B=0，B=2，故特解y^*=x+2，且y=(C₁+C₂x)e^x+x+2。把y(0)=2，y′(0)=0代入，得C₁=0，C₂=一1。
因此所求为 y=x(1一e^x)+2。

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