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  3. 证明：非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y1，y2，…，ym必满足方程组(Ⅲ)，其中

证明：非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y1，y2，…，ym必满足方程组(Ⅲ)，其中

admin2021-07-27  55
问题 证明：非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y1，y2，…，ym必满足方程组(Ⅲ)，其中
选项
答案设A=(aij)m×n，x=[x1，x2，…，xn]T，y=[y1，y2，…，．ym]T，b=[b1，b2，…，bm]T，则方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)的矩阵形式分别是(Ⅰ)：Ax=b，(Ⅱ)：ATy=0，(Ⅲ)：bTy=0．必要性．如果方程组(Ⅰ)有解。则Ax=b两边同时转置，有bT=xTAT．设y是方程组(Ⅱ)的任一解，则ATy=0．于是bTy=(xTAT)y=xT(ATy)=xT0=0，所以方程组(Ⅱ)的任一解y满足方程组(Ⅲ)．充分性．将方程组(Ⅱ)和(Ⅲ)联立起来，记为方程组(Ⅳ)，其矩阵形式为[*]如果方程组(Ⅱ)的任一解y满足方程组(Ⅲ)，即ATy=0，bTy=0，则方程组(Ⅱ)，(Ⅳ)同解．于是方程组(Ⅱ)和(Ⅳ)系数矩阵的秩相等，即[*]由此可知，矩阵[*]的最后一行bT可由AT的n个行向量线性表示．不妨设A=[α1，α2，…，αn]，则[*]，所以存在一组数x1，x2，…，xn，使得x1α1T+x2α2T+…+xnαnT=bT，两边同时转置得x1α1+x2α2+…+xnαn=b，即Ax=b，因此方程组(Ⅰ)有解．证毕．
解析
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考研数学二

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