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证明:非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y1,y2,…,ym必满足方程组(Ⅲ),其中
证明:非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y1,y2,…,ym必满足方程组(Ⅲ),其中
admin
2021-07-27
60
问题
证明:非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y
1
,y
2
,…,y
m
必满足方程组(Ⅲ),其中
选项
答案
设A=(a
ij
)
m×n
,x=[x
1
,x
2
,…,x
n
]
T
,y=[y
1
,y
2
,…,.y
m
]
T
,b=[b
1
,b
2
,…,b
m
]
T
,则方程组(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)的矩阵形式分别是(Ⅰ):Ax=b,(Ⅱ):A
T
y=0,(Ⅲ):b
T
y=0.必要性.如果方程组(Ⅰ)有解。则Ax=b两边同时转置,有b
T
=x
T
A
T
.设y是方程组(Ⅱ)的任一解,则A
T
y=0.于是b
T
y=(x
T
A
T
)y=x
T
(A
T
y)=x
T
0=0,所以方程组(Ⅱ)的任一解y满足方程组(Ⅲ).充分性.将方程组(Ⅱ)和(Ⅲ)联立起来,记为方程组(Ⅳ),其矩阵形式为[*]如果方程组(Ⅱ)的任一解y满足方程组(Ⅲ),即A
T
y=0,b
T
y=0,则方程组(Ⅱ),(Ⅳ)同解.于是方程组(Ⅱ)和(Ⅳ)系数矩阵的秩相等,即[*]由此可知,矩阵[*]的最后一行b
T
可由A
T
的n个行向量线性表示.不妨设A=[α
1
,α
2
,…,α
n
],则[*],所以存在一组数x
1
,x
2
,…,x
n
,使得x
1
α
1
T
+x
2
α
2
T
+…+x
n
α
n
T
=b
T
,两边同时转置得x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
n
α
n
=b,即Ax=b,因此方程组(Ⅰ)有解.证毕.
解析
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