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证明：非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y1，y2，…，ym必满足方程组(Ⅲ)，其中
证明：非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y1，y2，…，ym必满足方程组(Ⅲ)，其中
admin
2021-07-27
38
问题
证明：非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y
1
，y
2
，…，y
m
必满足方程组(Ⅲ)，其中
选项
答案
设A=(a
ij
)
m×n
，x=[x
1
，x
2
，…，x
n
]
T
，y=[y
1
，y
2
，…，．y
m
]
T
，b=[b
1
，b
2
，…，b
m
]
T
，则方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)的矩阵形式分别是(Ⅰ)：Ax=b，(Ⅱ)：A
T
y=0，(Ⅲ)：b
T
y=0．必要性．如果方程组(Ⅰ)有解。则Ax=b两边同时转置，有b
T
=x
T
A
T
．设y是方程组(Ⅱ)的任一解，则A
T
y=0．于是b
T
y=(x
T
A
T
)y=x
T
(A
T
y)=x
T
0=0，所以方程组(Ⅱ)的任一解y满足方程组(Ⅲ)．充分性．将方程组(Ⅱ)和(Ⅲ)联立起来，记为方程组(Ⅳ)，其矩阵形式为[*]如果方程组(Ⅱ)的任一解y满足方程组(Ⅲ)，即A
T
y=0，b
T
y=0，则方程组(Ⅱ)，(Ⅳ)同解．于是方程组(Ⅱ)和(Ⅳ)系数矩阵的秩相等，即[*]由此可知，矩阵[*]的最后一行b
T
可由A
T
的n个行向量线性表示．不妨设A=[α
1
，α
2
，…，α
n
]，则[*]，所以存在一组数x
1
，x
2
，…，x
n
，使得x
1
α
1
T
+x
2
α
2
T
+…+x
n
α
n
T
=b
T
，两边同时转置得x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
n
α
n
=b，即Ax=b，因此方程组(Ⅰ)有解．证毕．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ELy4777K
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