证明：非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y1，y2，…，ym必满足方程组(Ⅲ)，其中

admin2021-07-27 54

问题证明：非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y₁，y₂，…，y_m必满足方程组(Ⅲ)，其中

选项

答案设A=(a_ij)_m×n，x=[x₁，x₂，…，x_n]^T，y=[y₁，y₂，…，．y_m]^T，b=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)的矩阵形式分别是(Ⅰ)：Ax=b，(Ⅱ)：A^Ty=0，(Ⅲ)：b^Ty=0．必要性．如果方程组(Ⅰ)有解。则Ax=b两边同时转置，有b^T=x^TA^T．设y是方程组(Ⅱ)的任一解，则A^Ty=0．于是b^Ty=(x^TA^T)y=x^T(A^Ty)=x^T0=0，所以方程组(Ⅱ)的任一解y满足方程组(Ⅲ)．充分性．将方程组(Ⅱ)和(Ⅲ)联立起来，记为方程组(Ⅳ)，其矩阵形式为[*]如果方程组(Ⅱ)的任一解y满足方程组(Ⅲ)，即A^Ty=0，b^Ty=0，则方程组(Ⅱ)，(Ⅳ)同解．于是方程组(Ⅱ)和(Ⅳ)系数矩阵的秩相等，即[*]由此可知，矩阵[*]的最后一行b^T可由A^T的n个行向量线性表示．不妨设A=[α₁，α₂，…，α_n]，则[*]，所以存在一组数x₁，x₂，…，x_n，使得x₁α₁^T+x₂α₂^T+…+x_nα_n^T=b^T，两边同时转置得x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=b，即Ax=b，因此方程组(Ⅰ)有解．证毕．

解析

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考研数学二

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证明：非齐次线性方程组(Ⅰ)有解的充要条件是齐次线性方程组(Ⅱ)的任意一组解y1，y2，…，ym必满足方程组(Ⅲ)，其中

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