n阶矩阵A和B具有相同特征值是A与B相似的( )条件．

admin2020-06-05 12

问题 n阶矩阵A和B具有相同特征值是A与B相似的( )条件．

选项 A、充分必要
B、必要非充分
C、充分非必要件
D、既非充分，也非必要

答案B

解析若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P^﹣1AP＝B．于是
｜B－λE｜＝｜P^﹣1AP－λE｜＝｜P^﹣1(A－λE)P｜＝｜P^﹣1｜｜A－λE｜｜P｜＝｜A－λE｜
即A与B有相同的特征值．
取A＝

与B＝

，则它们有相同的特征值，但R(A)＝0≠1＝R(B)，即A与B不相似．这表明具有相同特征值的矩阵未必是相似矩阵．
综上所述，n阶矩阵A和B具有相同特征值是A与B相似的必要非充分条件．

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