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[201 5年] 设函数f(x)连续,φ(x)=∫0xxf(t)dt,若φ(1)=1,φ′(1)=5,则f(1)=__________.
[201 5年] 设函数f(x)连续,φ(x)=∫0xxf(t)dt,若φ(1)=1,φ′(1)=5,则f(1)=__________.
admin
2019-04-05
53
问题
[201 5年] 设函数f(x)连续,φ(x)=∫
0
x
xf(t)dt,若φ(1)=1,φ′(1)=5,则f(1)=__________.
选项
答案
先求φ′(x)的表达式,由此可求得f√(1). φ′(x)=[x∫
0
x
2
f(t)dt]′=∫
0
x
2
f(t)dt+2x
2
f(x
2
). ① 又由φ(1)=∫
0
1
1·f(t)dt=∫
0
1
f(t)dt=1及式①得到 ∫
0
1
f(t)dt+2f(1)=φ′(1)=5, 故 2f(1)=5一∫
0
1
f(t)dt=5—1=4,即f(1)=2.
解析
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0
考研数学二
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