设y(x)是y’’’+y’=0的解且x→0时y(x)是x2的等价无穷小，则y(x)=__________．

admin2014-02-06 65

问题设y(x)是y^’’’+y^’=0的解且x→0时y(x)是x²的等价无穷小，则y(x)=__________．

选项

答案2(1一cosx)．

解析令P=y^’，则得P^’’+P=0，它的特征方程是λ²+1=0，f是通解为y^’－P=C₁cosx+C₂sinx，再积分一次，即得原方程的通解是y=C₁sinx—C₂cosx+C₃．下面要定出常数C₁，C₂，C₃．
方法1。由泰勒公式

及y(x)一x²(x→0)→y(0)=0，y^’(0)=0，y^’’(0)=2

方法2。

→C₁=0，C₂=2，C₃=2．因此y(x)=2(1一cosx)．

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