已知矩阵A的伴随矩阵且满足ABA-1=BA-1+3E，求矩阵B．

admin2021-02-25 36

问题已知矩阵A的伴随矩阵

且满足ABA^-1=BA^-1+3E，求矩阵B．

选项

答案解法1：由ABA^-1=BA^-1+3E，得A^*ABA^-1A=A^*BA^-1A+3A^*A，而｜A^*｜=｜A｜³=8，从而，｜A｜=2，代入上式得2B=A^*B+6E，即(2E-A^*)B=6E，显然2E-A^*可逆，所以 [*] 解法2：在等式ABA^-1=BA^-1+3E两端左乘矩阵A^-1，右乘矩阵A，得 B=A^-1B+3E．从而 (E-A^-1)B=3E．由于｜A^*｜=｜A｜^n-1，故有｜A｜³=8，并得｜A｜=2，所以[*]，代入得 [*] 即 (2E-A^*)B=6E．而｜2E-A^*｜=-6，即矩阵2E-A^*可逆，故 [*]

解析本题考查解矩阵方程和有关矩阵A与其伴随矩阵A^*的关系式，通过矩阵A与A^*、A^-1的关系先化简，再求B．

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