设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为。求矩阵A；

admin2019-01-13 21

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，
且Q的第三列为

。
求矩阵A；

选项

答案由题意知Q^TAQ=Λ，其中Λ=[*]，则A=QΛQ^T，设Q的其他任一列向量为 (x₁，x₂，x₃)^T。因为Q为正交矩阵，所以(x₁，x₂，x₃)[*]=0，即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α₁=(—1，0，1)^T，α₂=(0，1，0)^T。把α₁单位化得β₁=[*](—1，0，1)^T，所以 [*] 则有 A=QΛQ^T=[*]

解析

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