2. 考研
  3. (1)证明拉格朗日拉值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)＝f’(ξ)(b－a)． (2)证明：若函数f(x)在x＝0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且，则f’＋(0)存在，且f’＋

(1)证明拉格朗日拉值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)＝f’(ξ)(b－a)． (2)证明：若函数f(x)在x＝0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且，则f’＋(0)存在，且f’＋

admin2014-01-26  77
问题 (1)证明拉格朗日拉值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)＝f’(ξ)(b－a)．
(2)证明：若函数f(x)在x＝0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且，则f’＋(0)存在，且f’＋(0)＝A．
选项
答案(1)作辅助函数ψ(x)＝f(x)－f(a)－[*]。 易验证ψ(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件． 可得在(a，b)内至少有一点ξ，使得ψ’(ξ)＝0， 即[*] 所以 f(b)－f(a)＝f’(ξ)(b－a)． (2)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)满足：在闭区间[0，x0]上连续，开区间(0，x0)内可导， 由拉格朗日中值定理可得： 存在ξ(x0)∈(0，x0)[*](0，δ)，使得 [*] 即[*] 又由于[*]，对①式两边取x0→0＋时的极限有 [*] 故f’＋(0)存在，且f’＋(0)＝A．
解析 已经连续两年考查教材上的重要结论，这一点值得关注．另外，注意利用前一问提供的信息，此题应想到证明(2)要用拉格朗日中值定理．
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考研数学二

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