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考研
设A=,而n≥2为整数,则An-2An-1=_________.
设A=,而n≥2为整数,则An-2An-1=_________.
admin
2021-01-19
36
问题
设A=
,而n≥2为整数,则A
n
-2A
n-1
=_________.
选项
答案
求方阵的n次幂一般要先就n=2,n=3进行计算,然后归纳其规律,得出结论.也可用相似对角化及命题2.2.1.3求之. 解一 先求出n=2,3时,A
2
,A
3
的表示式,然后归纳递推求出A
n
. 当n=2时, A
2
=[*]=2A, A
3
=A
2
.A=2A·A=2A
2
=2.2A=2
2
A, 设A
k
=2
k-1
A,下面证A
k+1
=2
k
A.事实上,有 A
k+1
=A
k
.A=2
k-1
A·A=2
k-1
A
2
=2
k-1
.2A=2
k
A. 因而对任何自然数,有A
n
=2
n-1
A,于是A
n
一2A
n-1
=2
n-1
.A-2·2
n-2
A=0. 解二 由于A为实对称矩阵,可用相似对角化求出A
n
.由∣λE-A∣=λ(λ-2)
2
得到A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 由于A为实对称矩阵,必存在可逆阵P,使P
-1
AP=diag(2,2,0)=Λ,于是 A=PΛP
-1
, A
n
=PΛ
n
P
-1
,2A
n-1
=P(2Λ
n-1
)P
-1
=PΛ
n
P
-1
, 故A
n
一2A
n-1
=0.
解析
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考研数学二
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