设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．

admin2021-01-19 81

问题设A=

，而n≥2为整数，则Aⁿ－2A^n-1=_________．

选项

答案求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之．解一先求出n=2，3时，A²，A³的表示式，然后归纳递推求出Aⁿ．当n=2时， A²=[*]=2A, A³=A²．A=2A·A=2A²=2．2A=2²A，设A^k=2^k-1A，下面证A^k+1=2^kA．事实上，有 A^k+1=A^k．A=2^k-1A·A=2^k-1A²=2^k-1．2A=2^kA．因而对任何自然数，有Aⁿ=2^n-1A，于是Aⁿ一2A^n-1=2^n-1．A－2·2^n-2A=0．解二由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出Aⁿ．由∣λE－A∣=λ(λ－2)²得到A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P^-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是 A=PΛP^-1， Aⁿ=PΛⁿP^-1，2A^n-1=P(2Λ^n-1)P^-1=PΛⁿP^-1，故Aⁿ一2A^n-1=0．

解析

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考研数学二

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