2. 考研
  3. 设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．

设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．

admin2021-01-19  58
问题 设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．
选项
答案 求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之． 解一 先求出n=2，3时，A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An． 当n=2时， A2=[*]=2A, A3=A2．A=2A·A=2A2=2．2A=22A， 设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有 Ak+1=Ak．A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1．2A=2kA． 因而对任何自然数，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1．A－2·2n-2A=0． 解二 由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由∣λE－A∣=λ(λ－2)2得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0． 由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是 A=PΛP-1， An=PΛnP-1，2An-1=P(2Λn-1)P-1=PΛnP-1， 故An一2An-1=0．
解析
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考研数学二

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