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设y≠1,微分方程ylnydx+(x-Iny)dy=0的通解为________。
设y≠1,微分方程ylnydx+(x-Iny)dy=0的通解为________。
admin
2021-04-16
35
问题
设y≠1,微分方程ylnydx+(x-Iny)dy=0的通解为________。
选项
答案
x=(1/2)lny+C/lny,其中C为任意常数
解析
由于dy/dx不易计算,则将x,y地位互换,即为dx/dy+x/ylny=1/y,此为一阶线性微分方程,按公式法办,于是
x=e
∫(dy/ylny)
(∫(1/y)e
∫(dy/ylny)
dy+C
1
)
=e
ln|lny|
(∫(1/y)e
ln|lny|
dy+C
1
)=±(1/lny)(±∫(1/y)lnydy+C
1
)
=±(1/lny)[±(1/2)ln
2
y+C
1
)]=(1/2)lny+(±C
1
/lny)=(1/2)lny+C/lny,其中C=±C
1
,故通解为x=(1/2)lny+C/lny,其中C为任意常数。
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考研数学三
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