设y≠1，微分方程ylnydx+(x-Iny)dy=0的通解为________。

admin2021-04-16 69

问题设y≠1，微分方程ylnydx+(x-Iny)dy=0的通解为________。

选项

答案x=(1／2)lny+C／lny，其中C为任意常数

解析由于dy／dx不易计算，则将x，y地位互换，即为dx／dy+x／ylny=1／y,此为一阶线性微分方程，按公式法办，于是
x=e^{∫(dy／ylny)}(∫(1／y)e^{∫(dy／ylny)}dy+C₁)
=e^ln｜lny｜(∫(1／y)e^ln｜lny｜dy+C₁)=±(1／lny)(±∫(1／y)lnydy+C₁)
=±(1／lny)[±(1／2)ln²y+C₁)]=(1／2)lny+(±C₁／lny)=(1／2)lny+C／lny，其中C=±C₁，故通解为x=(1／2)lny+C／lny，其中C为任意常数。

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