已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

admin2018-08-03 49

问题已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．
证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；

选项

答案设ξ₁，ξ₂，ξ₃是该方程组的3个线性无关的解，则由解的性质知α₁=ξ₁—ξ₂，α₂=ξ₁—ξ₃是对应齐次线性方程组Ax=0的两个解，且由 [α₁ α₂]=[ξ₁ ξ₂ ξ₃][*] 及ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，知向量组α₁，α₂线性无关，故齐次线性方程组Ax=0的基础解系至少含2个向量，即4一r(A)≥2，得r(A)≤2，又显然有r(A)≥2(A中存在2阶非零子式一1，或由A的前2行线性无关)，于是有r(A)=2．

解析

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