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  3. 求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β

求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β

admin2019-05-11  59
问题 求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β
选项
答案已知不等式等价于[*]即 [*] 令g(x)=(1+x)ln2(1+x)一x2，x∈[0，1]，则g(0)=0，且 g’(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一2x，g’(0)=0，[*] 故g’(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g’(x)＜g’(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)-x2＜0，从而f’(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减． [*] 故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为[*]
解析
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考研数学二

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