求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β

admin2019-05-11 66

问题求使不等式

对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β

选项

答案已知不等式等价于[*]即 [*] 令g(x)=(1+x)ln²(1+x)一x²，x∈[0，1]，则g(0)=0，且 g’(x)=ln²(1+x)+2ln(1+x)一2x，g’(0)=0，[*] 故g’(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g’(x)＜g’(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln²(1+x)-x²＜0，从而f’(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减． [*] 故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为[*]

解析

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考研数学二

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设a1＜a2＜…＜an，且函数f(χ)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2)＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)＝f(n)(ξ)．
设函数f(χ)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f′(χ)＋f(χ)－f(t)dt＝0．(1)求f′(χ)；(2)证明：当χ≥0时，e－χ≤f(χ)≤1．
设二阶常系数齐次线性微分方程以y1＝e2χ，y2＝2e-χ－3e2χ为特解，求该微分方程．
设A＝的一个特征值为λ1＝2，其对应的特征向量为ξ1＝(1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．
曲线y=x2与y=所围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积为()．
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设f(x)在=0处连续且求f(0)并讨论f(x)在x=0处是否可导?若可导，请求出f’(0)．

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