已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解． (1)证明：方程组的系数矩阵A的秩R(A)＝2； (2)求a，b的值及方程组的通解．

admin2020-06-05 71

问题已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．
(1)证明：方程组的系数矩阵A的秩R(A)＝2；
(2)求a，b的值及方程组的通解．

选项

答案(1)设α₁，α₂，α₃是非齐次方程组Ax＝b的3个线性无关的解，那么α₁－α₂，α₂－α₃是Ax＝0线性无关的解，所以n－R(A)≥2，即R(A)≤2．又矩阵A中有2阶子式[*]≠0，即R(A)≥2，从而R(A)＝2． (2)对增广矩阵作初等行变换： [*] 由R(A)＝[*]＝2知4－2a＝0，b＋4a－5＝0，即a＝2，b＝﹣3．此时，其通解为 [*] 其中c₁，c₂为任意实数．

解析

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