2. 考研
  3. 设二次型f＝xTAx＝ax12＋2x22－x33＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，矩阵A满足AB＝0，其中B＝． (Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．

设二次型f＝xTAx＝ax12＋2x22－x33＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，矩阵A满足AB＝0，其中B＝． (Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形； (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．

admin2020-10-30  51
问题 设二次型f＝xTAx＝ax12＋2x22－x33＋8x1x2＋2bx1x3＋2cx2x3，矩阵A满足AB＝0，其中B＝．
(Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形；
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同．
选项
答案(Ⅰ)二次型f的矩阵A＝[*] 由AB＝O，知λ1＝0是矩阵A的特征值，B的列向量α1＝(1，0，1)T是A的特征值λ1＝0对应的特征向量，所以Aα1＝λ1α1，即[*]于是[*]，解得a＝－1，b＝1，c＝－4． 由｜λE－A｜＝[*]＝λ(λ－6)(λ＋6)＝0，得矩阵A的特征值为λ1＝0，λ2＝6，λ3＝－6．当λ2＝6时，由(6E－A)x＝0，得A的特征值λ2＝6对应的特征向量α2＝(1，2，－1)T；当λ3＝－6，由(－6E－A)x＝0，得A的特征值λ3＝－6对应的特征向量α3＝(－1，1，1)T，将α1，α2，α3单位化，得 [*] 取P＝(η1，η2，η3)＝[*]，则P是正交矩阵，且P－1AP＝PTAP＝A＝[*] 令x＝Py，则x＝Py即为所求正交变换，从而f＝xTAx＝yT(PTAP)y＝6y22－6y32，即为二次型f的标准形． (Ⅱ)不合同，因为f＝xTAx＝6y22－6y32，xTBx＝x12＋2x1x3＋x32＝(x1+x3)2， 令[*] 则xTBx＝y12，xTAx的正、负惯性指数分别为1，1，而xTBx的正惯性指数 为1，负惯性指数为0，所以A与B不合同．
解析
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考研数学三

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