首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设二次型f=xTAx=ax12+2x22-x33+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中B=. (Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形; (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
设二次型f=xTAx=ax12+2x22-x33+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中B=. (Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形; (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
admin
2020-10-30
48
问题
设二次型f=x
T
Ax=ax
1
2
+2x
2
2
-x
3
3
+8x
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
,矩阵A满足AB=0,其中B=
.
(Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形;
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
选项
答案
(Ⅰ)二次型f的矩阵A=[*] 由AB=O,知λ
1
=0是矩阵A的特征值,B的列向量α
1
=(1,0,1)
T
是A的特征值λ
1
=0对应的特征向量,所以Aα
1
=λ
1
α
1
,即[*]于是[*],解得a=-1,b=1,c=-4. 由|λE-A|=[*]=λ(λ-6)(λ+6)=0,得矩阵A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=6,λ
3
=-6.当λ
2
=6时,由(6E-A)x=0,得A的特征值λ
2
=6对应的特征向量α
2
=(1,2,-1)
T
;当λ
3
=-6,由(-6E-A)x=0,得A的特征值λ
3
=-6对应的特征向量α
3
=(-1,1,1)
T
,将α
1
,α
2
,α
3
单位化,得 [*] 取P=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],则P是正交矩阵,且P
-1
AP=P
T
AP=A=[*] 令x=Py,则x=Py即为所求正交变换,从而f=x
T
Ax=y
T
(P
T
AP)y=6y
2
2
-6y
3
2
,即为二次型f的标准形. (Ⅱ)不合同,因为f=x
T
Ax=6y
2
2
-6y
3
2
,x
T
Bx=x
1
2
+2x
1
x
3
+x
3
2
=(x
1
+x
3
)
2
, 令[*] 则x
T
Bx=y
1
2
,x
T
Ax的正、负惯性指数分别为1,1,而x
T
Bx的正惯性指数 为1,负惯性指数为0,所以A与B不合同.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FDx4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
若a1,a2,a3,β1,β2都是4维列向量,且4阶行列式|a1,a2,a3,β1|=m,|a1,a2,β2,a3|=n,则4阶行列式|a1,a2,a3,β1+β2|=
设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差Cov(X2,Y2)=________.
设E为四阶单位矩阵,且B=(E+A)-1(E-A)则(E+B)-1=_____________.
设A,B为同阶可逆矩阵,则().
[2014年]设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域,则D的面积为________.
[2010年]求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值.
设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是
设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A的属于特征值A的特征向量,则矩阵(P-1AP)T属于特征值A的特征向量是
设f=xTAx,g=xTBx是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是()
随机试题
当溶液中有两种离子共存时,欲以EDTA溶液滴定M而N不受干扰的条件是()。
关于交界性期前收缩的描述,正确的是
同一类传染病患者住同一病房,床距应保持在()。
夏、秋季节海产鱼、虾中检出率较高的致病菌是()。
在叶绿体色素提取和分离实验中,收集到的滤液绿色过浅,其原因可能是()。①未加石英砂、研磨不充分②一次加入大量的无水酒精提取③分次加人少量无水酒精提取④使用放置数天的菠菜叶
2012年.全国国内旅游人数29.57亿人次,比上年增长12.0%。其中,城镇居民19.33亿人次。2012年,全国国内旅游收入22706.22亿元人民币,比上年增长17.6%。2012年全年入境外国游客人数比上年增长0.3%,其中,亚洲市场入境人数166
“眼不见,心不烦”“掩耳盗铃”等都是()的表现。
下列科技常识中,错误的是()。
下列关于折现现金流估值法的表述正确的是()。
用马克思主义哲学有关原理对漫画中所反映的工作方式进行辨析。
最新回复
(
0
)