首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设二次型f=xTAx=ax12+2x22-x33+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中B=. (Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形; (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
设二次型f=xTAx=ax12+2x22-x33+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中B=. (Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形; (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
admin
2020-10-30
47
问题
设二次型f=x
T
Ax=ax
1
2
+2x
2
2
-x
3
3
+8x
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
,矩阵A满足AB=0,其中B=
.
(Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形;
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
选项
答案
(Ⅰ)二次型f的矩阵A=[*] 由AB=O,知λ
1
=0是矩阵A的特征值,B的列向量α
1
=(1,0,1)
T
是A的特征值λ
1
=0对应的特征向量,所以Aα
1
=λ
1
α
1
,即[*]于是[*],解得a=-1,b=1,c=-4. 由|λE-A|=[*]=λ(λ-6)(λ+6)=0,得矩阵A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=6,λ
3
=-6.当λ
2
=6时,由(6E-A)x=0,得A的特征值λ
2
=6对应的特征向量α
2
=(1,2,-1)
T
;当λ
3
=-6,由(-6E-A)x=0,得A的特征值λ
3
=-6对应的特征向量α
3
=(-1,1,1)
T
,将α
1
,α
2
,α
3
单位化,得 [*] 取P=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],则P是正交矩阵,且P
-1
AP=P
T
AP=A=[*] 令x=Py,则x=Py即为所求正交变换,从而f=x
T
Ax=y
T
(P
T
AP)y=6y
2
2
-6y
3
2
,即为二次型f的标准形. (Ⅱ)不合同,因为f=x
T
Ax=6y
2
2
-6y
3
2
,x
T
Bx=x
1
2
+2x
1
x
3
+x
3
2
=(x
1
+x
3
)
2
, 令[*] 则x
T
Bx=y
1
2
,x
T
Ax的正、负惯性指数分别为1,1,而x
T
Bx的正惯性指数 为1,负惯性指数为0,所以A与B不合同.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FDx4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
将10双不同的鞋随意分成10堆,每堆2只,以X表示10堆中恰好配成一双鞋的堆数,则E(X)=________。
设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组Ax=0,如果矩阵A中的每行元素的和均为0,且r(A)=n-1,则方程组的通解是______
设f’(x)连续,x(0)=0,f’(0)=1,则=______.
设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵.已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵.
计算二重积分其中D是由直线x=-2,y=0,y=2以及曲线所围成的平面区域.
[2013年]设曲线y=f(x)与y=x2-x在点(1,0)处有公切线,则=_________.
[2006年]在xOy坐标平面上,连续曲线l过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0).求l的方程;
设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Ax=β的通解为
求微分方程xy’+y=xex满足y(1)=1的特解.
求极限=_______.
随机试题
适用于结构件在现场或工地进行装配的是()装配法。
根据GB50236《给水排水管道工程施工及验收规范》规定,将不同壁厚的管节对口时,管壁厚度相差不宜大于()。
急性房颤应用药物治疗的目标为安静时心率保持在60~80/min。
针对I期梅毒患者,检查梅毒螺旋体的最适标本是
A.髋关节B.膝关节C.跗关节D.系关节E.冠关节使役公牛,运动中左后肢突然向后伸直,不能弯曲,蹄尖被迫曳地,触诊髌骨位于股骨内侧滑车嵴的顶端,内侧直韧带高度紧张。但有时运动又能自然恢复正常姿势,该跛行的动物患肢最可能脱位的关节
医疗保健机构提供孕产期保健服务的时间范围是从准备妊娠开始至产后
A.10年、10年B.10年、20年C.7年、10年D.7年、7年对特定疾病有特殊疗效的中药品种,申请中药保护品种的保护期限和延长的保护期限分别为
[2009年,第51题]若某点按s=8-2t2(s以米计,t以秒计)的规律运动,则t=3s时点经过的路程为()。
TheTruthabouttheEnvironmentA)Formanyenvironmentalists,theworldseemstobegettingworse.Theyhavedevelopedahit-lis
Theterme-commercereferstoallcommercialtransactionsconductedovertheInternet,includingtransactionsbyconsumersandb
最新回复
(
0
)