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设二次型f=xTAx=ax12+2x22-x33+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中B=. (Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形; (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
设二次型f=xTAx=ax12+2x22-x33+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中B=. (Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形; (Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
admin
2020-10-30
57
问题
设二次型f=x
T
Ax=ax
1
2
+2x
2
2
-x
3
3
+8x
1
x
2
+2bx
1
x
3
+2cx
2
x
3
,矩阵A满足AB=0,其中B=
.
(Ⅰ)用正交变换化二次型f为标准形;
(Ⅱ)判断矩阵A与B是否合同.
选项
答案
(Ⅰ)二次型f的矩阵A=[*] 由AB=O,知λ
1
=0是矩阵A的特征值,B的列向量α
1
=(1,0,1)
T
是A的特征值λ
1
=0对应的特征向量,所以Aα
1
=λ
1
α
1
,即[*]于是[*],解得a=-1,b=1,c=-4. 由|λE-A|=[*]=λ(λ-6)(λ+6)=0,得矩阵A的特征值为λ
1
=0,λ
2
=6,λ
3
=-6.当λ
2
=6时,由(6E-A)x=0,得A的特征值λ
2
=6对应的特征向量α
2
=(1,2,-1)
T
;当λ
3
=-6,由(-6E-A)x=0,得A的特征值λ
3
=-6对应的特征向量α
3
=(-1,1,1)
T
,将α
1
,α
2
,α
3
单位化,得 [*] 取P=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*],则P是正交矩阵,且P
-1
AP=P
T
AP=A=[*] 令x=Py,则x=Py即为所求正交变换,从而f=x
T
Ax=y
T
(P
T
AP)y=6y
2
2
-6y
3
2
,即为二次型f的标准形. (Ⅱ)不合同,因为f=x
T
Ax=6y
2
2
-6y
3
2
,x
T
Bx=x
1
2
+2x
1
x
3
+x
3
2
=(x
1
+x
3
)
2
, 令[*] 则x
T
Bx=y
1
2
,x
T
Ax的正、负惯性指数分别为1,1,而x
T
Bx的正惯性指数 为1,负惯性指数为0,所以A与B不合同.
解析
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考研数学三
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