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设f(x)在[0,1]二阶可导,且|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b为非负常数,求证:对任何c∈(0,1),有 |f’(c)|≤2a+b.
设f(x)在[0,1]二阶可导,且|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b为非负常数,求证:对任何c∈(0,1),有 |f’(c)|≤2a+b.
admin
2019-05-08
83
问题
设f(x)在[0,1]二阶可导,且|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f"(x)|≤b,其中a,b为非负常数,求证:对任何c∈(0,1),有
|f’(c)|≤2a+
b.
选项
答案
考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式:[*]∈(0,1),有 f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+[*]f"(ξ)(x一c)
2
, (*) 其中ξ=c+θ(x一c),0<θ<1. 在(*)式中,令x=0,得 f(0)=f(c)+f’(c)(一c)+[*]f"(ξ
1
)c
2
,0<ξ
1
<c<1; 在(*)式中,令x=1,得 f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+[*]f"(ξ
2
)(1一c)
2
,0<c<ξ
2
<1. 上面两式相减得 f(1)一f(0)=f,(c)+[*][f"(ξ
2
)(1一c)
2
一f"(ξ
1
)c
2
]. 从而f’(c)=f(1)一f(0)+[*][f"(ξ
1
)c
2
一f"(ξ
2
)(1一c)
2
],两端取绝对值并放大即得 [*] 其中利用了对任何c∈(0,1)有(1一c)
2
≤1—c,c
2
≤c.于是(1一c)
2
+c
2
≤1.
解析
证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时,常常需要利用函数在某点的泰勒展开式.本题涉及证明|f’(c)|≤2a+
,自然联想到将f(x)在点x=c处展开.
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考研数学三
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