设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y’+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

admin2017-07-28 49

问题设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y’+ky=f(x)
存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

选项

答案此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e^-kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]? y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即 e^-kx[C+∫₀^xf(t)e^ktdt]=e^-kx-kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt]． C+∫₀^xf(t)e^ktdt=e^-kω[C+∫₀^x+ωf(t)e^ktdt[*]e^-kω[C+∫_-ω^xf(s+ω)e^ks+kωds] =Ce^-kω+∫_-ω⁰f(s)e^ksds+∫₀^xf(s)e^ksds． [*] 对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．

解析

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