求微分方程y’’一3y’+2y=2xex的通解。

admin2018-12-19 42

问题求微分方程y’’一3y’+2y=2xe^x的通解。

选项

答案齐次方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为λ²一3λ+2=0，由此得λ₁=2，λ₂=1。即对应齐次方程的通解为 y=C₁e^2x+C₂e^x。设非齐次方程的特解为 y^*=(ax+b)xe^x，则有 (y^*)’=[ax²+(2a+b)x+b]e^x， (y^*)’’=[ax²+(4a+b)x+2a+2b]e^x，代入原方程得a=一1，b=一2，因此所求解为y=C₁e^2x+C₂e^x一x(x+2)e^x。

解析

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