设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2,—1,a+2,1)T,α2=(—1,2,4,a+8)T。 当a为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。

admin2018-12-29  24

问题 设四元齐次线性方程组(1)为

而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为
α1=(2,—1,a+2,1)T,α2=(—1,2,4,a+8)T
当a为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。

选项

答案设η是方程组(1)与(2)的非零公共解,则 η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2,其中k1,k2与l1,l2均是不全为0的常数。 由k1β1+k2β2—l1α1+l2α2=0,得齐次方程组 [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 当a≠—1时,方程组(3)的系数矩阵变为[*]。 可知方程组(3)只有零解,即k1=k2=l1=l2=0,于是η=0,不合题意。 当a= —1时,方程组(3)系数矩阵变为[*], 解得k1=l1+4l2,k2=l1+7l2。 于是η=(l1+4l21+(l1+7l22=l1α1+l2α2。 所以当a= —1时,方程组(1)与(2)有非零公共解,且公共解是 l1(2,—1,1,1)T+l2(—1,2,4,7)T,l1,l2为任意常数。

解析
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