设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量; (2)求可逆矩阵P,使P一1AP为对角矩阵.

admin2019-01-13  21

问题 设n阶矩阵

(1)求A的特征值和特征向量;
(2)求可逆矩阵P,使P一1AP为对角矩阵.

选项

答案(1)1°当b≠0时, [*]= [λ一1一(n一1)b][λ一(1一b)]n一1,故A的特征值为λ1=1+(n一1)b,λ2=…=λn= 1一b. 对于λ1=1+(n一1)b,设对应的一个特征向量为ξ1,则 [*]ξ1=[1+(n一1)b]ξ1解得ξ1=(1,1,…,1)T,所以,属于λ1的全部特征向量为kξ1= k(1,1,…,1)T,其中k为任意非零常数. 对于λ2=…=λn=1一b,解齐次线性方程组[(1一b)E一A]x=0,由 [*] 解得基础解系为ξ2=(1,一1,0,…,0)T,ξ3=(1,0,一1,…,0)T,…,ξn=(1,0,0,…,一1)T.故属于λ2=…=λn的全部特征向量为 k2ξ2+k3ξ3+…+knξn,其中k2,k3,…,kn为不全为零的任意常数. 2°当b=0时,A=E,A的特征值为λ12=…=λn=1,任意n维非零列向量均是特征向量. (2)1°当b≠0时,A有n个线性无关的特征向量,令矩阵P=[ξ1 ξ2 … ξn],则有 P一1AP=diag(1+(N一1)b,1 一b,…,1一b). 2°当b=0时,A=E,对任意n阶可逆矩阵P,均有P一1AP=E.

解析
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