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(2003年)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件: f’(x)=g(x),g’(x)=f(x), 且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex。 (I)求F(x)所满足的一阶微分方程; (Ⅱ)求出F
(2003年)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件: f’(x)=g(x),g’(x)=f(x), 且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex。 (I)求F(x)所满足的一阶微分方程; (Ⅱ)求出F
admin
2018-04-17
33
问题
(2003年)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件:
f’(x)=g(x),g’(x)=f(x),
且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e
x
。
(I)求F(x)所满足的一阶微分方程;
(Ⅱ)求出F(x)的表达式。
选项
答案
(I)由于 F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) =g
2
(x)+f
2
(x) =[f(x)+g(x)]
2
一2f(x)g(x) =(2e
x
)
2
一2F(x), 所以F(x)所满足的一阶微分方程为F’(x)+2F(x)=4e
2x
。 (Ⅱ) F(x)=e
-∫2dx
[∫4e
2x
.e
∫2dx
dx+C] =e
-2x
.[∫4e
2x
dx+C] =e
2x
+Ce
-2x
。 将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式,得C=一1。于是F(x)=e
2x
一e
-2x
。
解析
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考研数学三
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