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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(—1,2,—1)T,α2=(0,—1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A。
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(—1,2,—1)T,α2=(0,—1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A。
admin
2020-03-10
31
问题
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α
1
=(—1,2,—1)
T
,α
2
=(0,—1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解。
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量;
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q
T
AQ=A。
选项
答案
(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3,所以有 [*] 则λ=3是矩阵A的特征值,α=(1,1,1)
T
是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1,1,1)
T
,其中k是不为零的常数。 又由题设知Aα
1
=0,Aα
2
=0,即Aα
1
=0.α
1
,Aα
2
=0.α
2
,而且α
1
,α
2
线性无关,所以λ=0是矩阵A的二重特征值,α
1
,α
2
是其对应的特征向量,因此对应λ=0的全部特征向量为 k
1
α
1
+k
2
α
2
=k
1
(—1,2,—1)
T
+k
2
(0,—1,1)
T
,其中k
1
,k
2
是不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵,所以α与α
1
,α
2
正交,只需将α
1
与α
2
正交化。 由施密特正交化法,取 β
1
=α
1
,β
2
=α
2
—[*] 再将α,β
1
,β
2
单位化,得 [*] 令Q=(η
1
,η
2
,η
3
),则Q
—1
=Q
T
,且 [*]
解析
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考研数学三
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