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  3. 设f(x)在(a，b)连续，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn为任意n个正数，求证：ξ∈(a，b)，使得

设f(x)在(a，b)连续，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn为任意n个正数，求证：ξ∈(a，b)，使得

admin2017-05-18  36
问题 设f(x)在(a，b)连续，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn为任意n个正数，求证：ξ∈(a，b)，使得
选项
答案依题设n个函数值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨设 min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)， max{f(x1)，…，f(xn)}=f(xn)， 则 [*] 记 [*]f(xi)，若η=f(x1)，则[*]1∈(a，b)，f(ξ)=η；若η=f(xn)， 则[*]n∈(a，b)，f(ξ)=η． 若f(x1)＜η＜f(xn)，由定理知，[*]1与xn之间，即ξ∈(a，b)，f(ξ)=η．
解析 只需证明：αif(xi)是f(x)在(a，b)内某两个函数值的中间值．
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考研数学一

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