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[2004年] 设α1=[1,2,0]T,α2=[1,a+2,-3a]T,α3=[-1,-b-2,a+2b]T,β=[1,3,-3]T.试讨论当a,b为何值时, β可由α1,α2,α3线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.
[2004年] 设α1=[1,2,0]T,α2=[1,a+2,-3a]T,α3=[-1,-b-2,a+2b]T,β=[1,3,-3]T.试讨论当a,b为何值时, β可由α1,α2,α3线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.
admin
2019-04-28
49
问题
[2004年] 设α
1
=[1,2,0]
T
,α
2
=[1,a+2,-3a]
T
,α
3
=[-1,-b-2,a+2b]
T
,β=[1,3,-3]
T
.试讨论当a,b为何值时,
β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.
选项
答案
当a≠0且a-b=0,即a=b≠0时,对[A|β]施以初等行变换,有 [*] 可知秩(A)=秩([A|β])=2,故方程组①有无穷多解.其一基础解系只含一个解向量α=[0,1,1]
T
,其一个特解为η=[1-1/a,1/a,0],故以k
1
,k
2
,k
3
为未知数的方程组①的通解为 [k
1
,k
2
,k
3
=η+cα=[1-1/a,1/a,0]
T
+c[0,1,1]
T
=[1-1/a,1/a+c,c]
T
(c为任意常数). 于是β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,其一般表示式为 β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=(1-1/a)α
1
+(1/a+c)α
2
+cα
3
(c为任意常数). 由上式易知,由于c为任意常数,β由α
1
,α
2
,α
3
线性表出的一般表达式,常归结为求关于未知数k
1
,k
2
,k
3
的方程组β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
β
3
的通解.
解析
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考研数学三
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