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设抛物线y=ax2+bx+c过原点,当0≤x≤1时,y≥0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1/3,试确定a,b,c的值,使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。
设抛物线y=ax2+bx+c过原点,当0≤x≤1时,y≥0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1/3,试确定a,b,c的值,使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。
admin
2017-01-16
54
问题
设抛物线y=ax
2
+bx+c过原点,当0≤x≤1时,y≥0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1/3,试确定a,b,c的值,使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。
选项
答案
由题设知曲线过点(0,0),得c=0,即y=ax
2
+bx。 [*] 如图所示,从x→x+dx的面积dS=ydx,所以 S=∫
0
1
ydx=∫
0
1
(ax
2
+bx)dx=([*]bx
2
)|
0
1
=[*] 由已知得[*] 当y=ax
2
+bx绕戈轴旋转一周时,则从x→x+dx的体积dV=πy
2
dx,所以旋转体积 V=∫
0
1
πy
2
dx=π∫
0
1
(ax
2
+bx)
2
dx=π[[*]),由b=[*]],这是个含有a的函数,两边对a求导得 [*] 令其等于0,得唯一驻点a=-[*]>0,此点为极小值点,亦即体积最小,这时b=3/2,故所求函数 y=ax
2
+bx+c=-[*]x。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GCu4777K
0
考研数学一
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