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设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1／3，试确定a，b，c的值，使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。
设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1／3，试确定a，b，c的值，使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。
admin
2017-01-16
43
问题
设抛物线y=ax
2
+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1／3，试确定a，b，c的值，使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。
选项
答案
由题设知曲线过点(0，0)，得c=0，即y=ax
2
+bx。 [*] 如图所示，从x→x+dx的面积dS=ydx，所以 S=∫
0
1
ydx=∫
0
1
(ax
2
+bx)dx=([*]bx
2
)|
0
1
=[*] 由已知得[*] 当y=ax
2
+bx绕戈轴旋转一周时，则从x→x+dx的体积dV=πy
2
dx，所以旋转体积 V=∫
0
1
πy
2
dx=π∫
0
1
(ax
2
+bx)
2
dx=π[[*])，由b=[*]]，这是个含有a的函数，两边对a求导得 [*] 令其等于0，得唯一驻点a=-[*]＞0，此点为极小值点，亦即体积最小，这时b=3／2，故所求函数 y=ax
2
+bx+c=-[*]x。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GCu4777K
0
考研数学一
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