2. 考研
  3. 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量． (1)证明：α，Aα线性无关； (2)若A2α＋Aα－6α＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化．

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量． (1)证明：α，Aα线性无关； (2)若A2α＋Aα－6α＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化．

admin2018-01-23  64
问题 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．
(1)证明：α，Aα线性无关；
(2)若A2α＋Aα－6α＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化．
选项
答案(1)若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α＋k2Aα＝0，显然k2≠ 0，所以Aα＝[*]，矛盾，所以α，Aα线性无关． (2)由A2α－Aα－6α＝0，得(A2＋A－6E)α＝0， 因为α≠0，所以r(A2＋A－6E)＜2，从而｜A2＋A－6E｜＝0，即 ｜3E＋A｜．｜2E－A｜＝0，则｜3E＋A｜＝0或｜2E－A｜＝0． 若｜3E＋A｜≠0，则3E＋A可逆，由(3E＋A)(2E－A)α＝0，得 (2E－A)α＝0，且Aα＝2α，矛盾； 若｜2E－A｜≠0，则2E－A可逆，由(2E－A)(3E＋A)α＝0，得 (3E＋A)α＝0，即Aα＝－3α，矛盾，所以有｜3E＋A｜＝0且｜2E－A｜＝0，于是二阶矩 阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化．
解析
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考研数学三

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