设f(x)连续，且满足∫0xf(t)dt=x+∫0xtf(x一t)dt，求f(x)。

admin2018-05-25 22

问题设f(x)连续，且满足∫₀^xf(t)dt=x+∫₀^xtf(x一t)dt，求f(x)。

选项

答案令x一t=u，则 ∫₀^xtf(x一t)dt=∫₀^x(x一u)f(u)du =x∫₀^xf(u)du一∫₀^xuf(u)du，所以有∫₀^xf(t)dt=x+x∫₀^xf(u)du一∫₀^xuf(u)du，在等式两端求导得 f(x)=1+∫₀^xf(u)du+xf(x)一xf(x)，即 f(x)=1+∫₀^xf(u)du，等式两端再次求导 f’(x)=f(x)。解此微分方程得 f(x)=Ce^x。又由f(0)=1，得C=1，故f(x)=e^x。

解析

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