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设f(x)连续,且满足∫0xf(t)dt=x+∫0xtf(x一t)dt,求f(x)。
设f(x)连续,且满足∫0xf(t)dt=x+∫0xtf(x一t)dt,求f(x)。
admin
2018-05-25
52
问题
设f(x)连续,且满足∫
0
x
f(t)dt=x+∫
0
x
tf(x一t)dt,求f(x)。
选项
答案
令x一t=u,则 ∫
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x
tf(x一t)dt=∫
0
x
(x一u)f(u)du =x∫
0
x
f(u)du一∫
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x
uf(u)du, 所以有∫
0
x
f(t)dt=x+x∫
0
x
f(u)du一∫
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x
uf(u)du,在等式两端求导得 f(x)=1+∫
0
x
f(u)du+xf(x)一xf(x), 即 f(x)=1+∫
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x
f(u)du, 等式两端再次求导 f’(x)=f(x)。 解此微分方程得 f(x)=Ce
x
。 又由f(0)=1,得C=1,故f(x)=e
x
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GQg4777K
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考研数学一
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