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  3. 设f(x)连续，且满足∫0xf(t)dt=x+∫0xtf(x一t)dt，求f(x)。

设f(x)连续，且满足∫0xf(t)dt=x+∫0xtf(x一t)dt，求f(x)。

admin2018-05-25  28
问题 设f(x)连续，且满足∫0xf(t)dt=x+∫0xtf(x一t)dt，求f(x)。
选项
答案令x一t=u，则 ∫0xtf(x一t)dt=∫0x(x一u)f(u)du =x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du， 所以有∫0xf(t)dt=x+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，在等式两端求导得 f(x)=1+∫0xf(u)du+xf(x)一xf(x)， 即 f(x)=1+∫0xf(u)du， 等式两端再次求导 f’(x)=f(x)。 解此微分方程得 f(x)=Cex。 又由f(0)=1，得C=1，故f(x)=ex。
解析
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考研数学一

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