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  3. 设齐次线性方程组有非零解，A＝为正定矩阵，求a，并求当｜X｜＝时XTAX的最大值．

设齐次线性方程组有非零解，A＝为正定矩阵，求a，并求当｜X｜＝时XTAX的最大值．

admin2019-04-22  109
问题 设齐次线性方程组有非零解，A＝为正定矩阵，求a，并求当｜X｜＝时XTAX的最大值．
选项
答案因为方程组有非零解，所以[*]＝a(a＋1)(a－3)＝0，即a＝－1或a＝0或a＝3．因为A是正定矩阵，所以aii＞0(i＝1，2，3)，所以a＝3．当a＝3时，由 ｜λE－A｜＝[*]＝(λ－1)(λ－4)(λ－10)＝0 得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得 f＝XTAX[*]y12＋4y22＋10y32≤10(y12＋y22＋y32) 而当｜X｜＝[*]时， y12＋y22＋y32＝YTY＝YTQTQY＝(QY)T(QY)＝XTX＝｜X｜2＝2 所以当｜X｜＝[*]时，XTAX的最大值为20(最大值20可以取到，如y1＝y2＝0，y3＝[*])．
解析
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考研数学二

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