设齐次线性方程组有非零解，A＝为正定矩阵，求a，并求当｜X｜＝时XTAX的最大值．

admin2019-04-22 71

问题设齐次线性方程组

有非零解，A＝

为正定矩阵，求a，并求当｜X｜＝

时X^TAX的最大值．

选项

答案因为方程组有非零解，所以[*]＝a(a＋1)(a－3)＝0，即a＝－1或a＝0或a＝3．因为A是正定矩阵，所以a_ii＞0(i＝1，2，3)，所以a＝3．当a＝3时，由｜λE－A｜＝[*]＝(λ－1)(λ－4)(λ－10)＝0 得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得 f＝X^TAX[*]y₁²＋4y₂²＋10y₃²≤10(y₁²＋y₂²＋y₃²) 而当｜X｜＝[*]时， y₁²＋y₂²＋y₃²＝Y^TY＝Y^TQ^TQY＝(QY)^T(QY)＝X^TX＝｜X｜²＝2 所以当｜X｜＝[*]时，X^TAX的最大值为20(最大值20可以取到，如y₁＝y₂＝0，y₃＝[*])．

解析

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考研数学二

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