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设α,β为n维单位列向量,P是n阶可逆矩阵,则下列矩阵中可逆的是 ( )
设α,β为n维单位列向量,P是n阶可逆矩阵,则下列矩阵中可逆的是 ( )
admin
2018-09-25
64
问题
设α,β为n维单位列向量,P是n阶可逆矩阵,则下列矩阵中可逆的是 ( )
选项
A、A=E=αα
T
B、B=α
T
PαP
-1
-αα
T
C、C=α
T
P
-1
βP-βα
T
D、D=E+ββ
T
答案
D
解析
方法一 对矩阵D=E+ββ
T
,有
D
2
=(E+ββ
T
)
2
=E+2ββ
T
+ββ
T
ββ
T
(其中ββ
T
=1)
=E+3ββ
T
=3(E+ββ
T
)-2E=3D-2E,
D
2
-3D=D(D-3E)=-2E,
故D可逆,且D
-1
=
(D-3E),故应选D.
方法二 利用齐次方程组是否有非零解判别.
因Ax=(E-αα
T
)x=0,当x=α≠0时,有
(E-αα
T
)α=α-α(α
T
α)=0(其中α
T
α=1),
故排除A.
因Bx=(α
T
PαP
-1
-αα
T
)x=0,当x=Pα≠0时,有
(α
T
PαP
-1
-αα
T
)Pα=(α
T
Pα)(P
-1
P)α-α(α
T
Pα)=(α
T
Pα)α-α(α
T
Pα)=0(其中α
T
Pα是数).
故排除B.
因Cx=(α
T
P
-1
βP-βα
T
)x=0,取x=P
-1
β≠0,有
(α
T
P
-1
β)β-β(α
T
P
-1
β)=0(其中α
T
P
-1
β是数).
故排除C.由排除法,故应选D.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XSg4777K
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