2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0。 证明α1，α2，…，αn线性无关；

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0。 证明α1，α2，…，αn线性无关；

admin2015-11-16  23
问题 设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1＝α2，Aα2＝α3，…，Aαn－1＝αn，Aαn＝0。
证明α1，α2，…，αn线性无关；
选项
答案设 k1α1＋k2α2＋…＋knαn＝0， ① 用An－1左乘①，得到 k1An－1α1＋k2An－1α2＋…＋knAn－1αn＝0。 注意到Aiαj＝0，i＋j≥n＋1，当i＋jiαj≠0，故 An－1α2＝0，An－1α3＝0，…，An－1αn＝0，An－1α1＝≠0， 从而k1An－1α1＝0，即 k1An－1α1＝k1An－2α2＝…＝k1Aαn－1＝k1αn＝0， 而αn≠0，故k1＝0。 同法用An－2，An－1，…，A左乘式①可得 k2＝k3＝…＝kn－1＝0。 代入式①有knαn＝0，而αn≠0，故kn＝0，所以α1，α2，…，αn线性无关。
解析 [证题思路]  利用线性无关的定义证之，转化为矩阵关系，利用相似矩阵性质求之。
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考研数学一

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