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设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn-1=αn,Aαn=0。 证明α1,α2,…,αn线性无关;
设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn-1=αn,Aαn=0。 证明α1,α2,…,αn线性无关;
admin
2015-11-16
31
问题
设A是n阶矩阵,α
1
,α
2
,…,α
n
是n维列向量,且α
n
≠0,若Aα
1
=α
2
,Aα
2
=α
3
,…,Aα
n-1
=α
n
,Aα
n
=0。
证明α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关;
选项
答案
设 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
=0, ① 用A
n-1
左乘①,得到 k
1
A
n-1
α
1
+k
2
A
n-1
α
2
+…+k
n
A
n-1
α
n
=0。 注意到A
i
α
j
=0,i+j≥n+1,当i+j
iα
j
≠0,故 A
n-1
α
2
=0,A
n-1
α
3
=0,…,A
n-1
α
n
=0,A
n-1
α
1
=≠0, 从而k
1
A
n-1
α
1
=0,即 k
1
A
n-1
α
1
=k
1
A
n-2
α
2
=…=k
1
Aα
n-1
=k
1
α
n
=0, 而α
n
≠0,故k
1
=0。 同法用A
n-2
,A
n-1
,…,A左乘式①可得 k
2
=k
3
=…=k
n-1
=0。 代入式①有k
n
α
n
=0,而α
n
≠0,故k
n
=0,所以α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关。
解析
[证题思路] 利用线性无关的定义证之,转化为矩阵关系,利用相似矩阵性质求之。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DUw4777K
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考研数学一
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