首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,且α1=(1,一1,1)T是A的属于AT的一个特征向量.记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B.
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,且α1=(1,一1,1)T是A的属于AT的一个特征向量.记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B.
admin
2017-04-24
51
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一2,且α
1
=(1,一1,1)
T
是A的属于A
T
的一个特征向量.记B=A
5
一4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵.
(Ⅰ)验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B.
选项
答案
(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λ
i
的特征向量为α
i
(i=1,2,3),由特征值的定义与性质,有A
k
α
i
=λ
i
k
α
i
(i=1,2,3,k=1,2,…),于是有 Bα
1
=(A
5
一 4A
3
+E)α
1
=(λ
1
5
一 4λ
1
3
+1)α
1
=一2α
1
因α
1
≠0,故由定义知一2为B的一个特征值且α
1
为对应的一个特征向量.类似可得 Bα
2
=(λ
2
5
一 4λ
2
3
+1)α
2
=α
2
Bα
3
=(λ
3
5
一4λ
3
3
+1)α
3
=α
3
因为A的全部特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,所以B的全部特征值为λ
i
5
一4λ
i
3
+1(1=1,2,3),即B的全部特征值为一2,1,1. 因一2为B的单特征值,故B的属于特征值一2的全部特征向量为k
1
α
1
,其中k
1
是不为零的任意常数. 设x= (x
1
,x
2
,x
3
)
T
为B的属于特征值1的任一特征向量,因为A是实对称矩阵,所以B也是实对称矩阵.因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交,所以有(x
1
,x
2
,x
3
)α
1
=0,即 x
1
一
2
+x
3
=0 解得该方程组的基础解系为 ξ
2
=(1,1,0)
T
, ξ
3
=(一1,0,1)
T
故B的属于特征值1的全部特征向量为k
2
ξ
2
+ k
3
ξ
3
,其中k
2
,k
3
为不全为零的任意常数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知α
1
,ξ
2
,ξ
3
为B的3个线性无关的特征向量,令矩阵 [*]
解析
本题主要考查特征值与特征向量的定义与性质、矩阵相似对角化的概念与应用.
本题中方阵B=f(A)为方阵A的多项式,其中多项式f(t)=t
5
—4t
3
+1.我们知道,若λ为方阵A的一个特征值,则(λ)为f(A)=B的一个特征值.但是,为什么能由A的全部特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,而断言f(λ
1
), f(λ
2
),f(λ
3
)为B的全部特征值呢?对此问题,可有以下几种推导方法:
(1)由于属于互不相同特征值的特征向量线性无关,知向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,从而知α
2
,α
3
线性无
关,再由Bα
2
=α
2
,Bα
3
=α
3
,知1为B的特征值,且对应的线性无关特征向量至少有2个,故知1至少为B的二重特征值.又因3阶矩阵B的全部特征值(重特征值按重数计算)有且仅有3个,故知B的全部特征值为一2,1,1.
(2)由3阶矩阵A有3个互不相同的特征值1,2,一2,或由A为实对称矩阵,知A可相似对角化,即存在可逆矩阵Q,使
于是有
Q
一1
BQ=Q
一1
(A
5
一4A
3
+E)Q=Q
一1
A
5
Q一4Q
一1
A
3
Q+E
=(Q
一1
AQ)
5
一4(Q
一1
AQ)
3
+E=D
5
一4D
3
+E
即矩阵B与对角矩阵M相似,由于相似矩阵有相同的特征值,故知B的全部特征值为一2,1,1.
(3)也可以直接利用下面更为一般的结论:设n阶矩阵A(不一定为实对称矩阵)的全部特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,则对于任一多项式f(t),n阶矩阵f(A)的全部特征值为f(λ
1
),f(λ
2
),…,f(λ
n
).
另外,需要指出,由方程x
1
一x
2
+x
3
=0所求基础解系,即B的属于特征值1的线性无关特征向量虽然不是唯一的,从而所得相似变换矩阵P不是唯一的,但由B=Pdiag(一2,1,1)P
一1
所计算出的矩阵B却是唯一的,例如,也可由x
1
一x
2
+x
3
=0解得B的属于特征值1的线性无关特征向量为(1,1,0)
T
,(一1,1,2)
T
,从而可取相似对角化的变换矩阵为
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Gft4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
求下列微分方程的通解。sec2xtanydx+sec2ytanxdy=0
设y=(C1+C2x)e2x是某二阶常系数线性微分方程的通解,求对应的方程。
判断是否为方程xy’-y=xex的通解。
某工厂生产某产品,日总成本为C元,其中固定成本为200元,每多生产一单位产品,成本增加10元.该商品的需求函数为Q=50—2P,求Q为多少时,工厂日总利润L最大?
拟建一个容积为V的长方体水池,设它的底为正方形,如果池底单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍,试将总造价表示成底边长的函数,并确定此函数的定义域。
设一矩形面积为A,试将周长S表示为宽x的函数,并求其定义域。
已知,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2.求正交变换x=Qy将f化为标准形.
考虑二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2-2x1x3+4x2x3,问λ取何值时,f为正定二次型.
随机试题
Ⅲ型超敏反应重要病理学特征是()
城市形象不是_________的,它会随着一座城市的发展需要而产生相应的变化,因此,对于城市形象的研究也应当_________。依次填入画横线部分最恰当的一项是:
患者,女性,21岁,为保持身材饮食节制1年,近日自感疲乏,心悸、气短,头晕、头痛,注意力不集中来院就医。实验室检查:WBC5.4×109/L,Hb98g/L,MCV67fl,肝功能及肾功能均正常。该病人最大可能的诊断是
日光曝晒法达到消毒目的需要用的时间是
依据《证券法》规定,下列有关上市公司收购的表述中错误的是()。
ABS树脂是下列哪一组单体的共聚物?( )
下列属于会计核算软件的子系统的有()。
政府预算的原则随社会经济的发展而不断变化,在预算制度发展的各个阶段重点强调的预算原则包括()。
一年又一年,数以亿计的观众热议春晚,绝大多数时候都是含着一种积极的期待.期待这个带有浓厚仪式感的节目越来越精彩。人们期待春晚改革将“开门办春晚”进行到底。作为管窥中国文艺水准的重要窗口,最近几年,春晚极大地拓宽了演员遴选的范围,也逐步放松了对节目形态的限制
Hesentmean______biographyofTheodoreRooseveltwhichhelpedmeunderstandAmericanhistorybetter.
最新回复
(
0
)