2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于AT的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于AT的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

admin2017-04-24  40
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于AT的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B．
选项
答案 (Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λi的特征向量为αi(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有Akαi=λikαi(i=1，2，3，k=1，2，…)，于是有 Bα1=(A5一 4A3+E)α1=(λ15一 4λ13+1)α1=一2α1 因α1≠0，故由定义知一2为B的一个特征值且α1为对应的一个特征向量．类似可得 Bα2=(λ25一 4λ23+1)α2=α2 Bα3=(λ35一4λ33+1)α3=α3 因为A的全部特征值为λ1，λ2，λ3，所以B的全部特征值为λi5一4λi3+1(1=1，2，3)，即B的全部特征值为一2，1，1． 因一2为B的单特征值，故B的属于特征值一2的全部特征向量为k1α1，其中k1是不为零的任意常数． 设x= (x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的任一特征向量，因为A是实对称矩阵，所以B也是实对称矩阵．因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(x1，x2，x3)α1=0，即 x1一2+x3=0 解得该方程组的基础解系为 ξ2=(1，1，0)T， ξ3=(一1，0，1)T 故B的属于特征值1的全部特征向量为k2ξ2+ k3ξ3，其中k2，k3为不全为零的任意常数． (Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，ξ2，ξ3为B的3个线性无关的特征向量，令矩阵 [*]
解析 本题主要考查特征值与特征向量的定义与性质、矩阵相似对角化的概念与应用．
本题中方阵B=f(A)为方阵A的多项式，其中多项式f(t)=t5—4t3+1．我们知道，若λ为方阵A的一个特征值，则(λ)为f(A)=B的一个特征值．但是，为什么能由A的全部特征值为λ1，λ2，λ3，而断言f(λ1)， f(λ2)，f(λ3)为B的全部特征值呢？对此问题，可有以下几种推导方法：
(1)由于属于互不相同特征值的特征向量线性无关，知向量组α1，α2，α3线性无关，从而知α2，α3线性无
关，再由Bα2=α2，Bα3=α3，知1为B的特征值，且对应的线性无关特征向量至少有2个，故知1至少为B的二重特征值．又因3阶矩阵B的全部特征值(重特征值按重数计算)有且仅有3个，故知B的全部特征值为一2，1，1．
(2)由3阶矩阵A有3个互不相同的特征值1，2，一2，或由A为实对称矩阵，知A可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使

于是有
Q一1BQ=Q一1(A5一4A3+E)Q=Q一1A5Q一4Q一1A3Q+E
=(Q一1AQ)5一4(Q一1AQ)3+E=D5一4D3+E

即矩阵B与对角矩阵M相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故知B的全部特征值为一2，1，1．
(3)也可以直接利用下面更为一般的结论：设n阶矩阵A(不一定为实对称矩阵)的全部特征值为λ1，λ2，…，λn，则对于任一多项式f(t)，n阶矩阵f(A)的全部特征值为f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn)．
另外，需要指出，由方程x1一x2+x3=0所求基础解系，即B的属于特征值1的线性无关特征向量虽然不是唯一的，从而所得相似变换矩阵P不是唯一的，但由B=Pdiag(一2，1，1)P一1所计算出的矩阵B却是唯一的，例如，也可由x1一x2+x3=0解得B的属于特征值1的线性无关特征向量为(1，1，0)T，(一1，1，2)T，从而可取相似对角化的变换矩阵为
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考研数学二

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