已知△ABC的面积为S,三边长分别为a、b、c.在该三角形内求一点P,使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大.要求求出使乘积为最大时的这三个距离及此乘积的最大值.

admin2020-03-08  50

问题 已知△ABC的面积为S,三边长分别为a、b、c.在该三角形内求一点P,使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大.要求求出使乘积为最大时的这三个距离及此乘积的最大值.

选项

答案设点P到三边a、b、c的距离分别为x、y、z,于是[*] 即 ax+by+cz一2S=0. 命F(x,y,z,λ)=xyz+λ(ax+by+cz一2S),由拉格朗日乘数法,[*] 解得[*] 当点P在三角形的边上时,xyz=0.而P在三角形内部时,xyz>0.所以当点P在三角形内部时,乘积xyz有最大值.今求得唯一的(x,y,z).所以当 [*] 时,xyz最大,最大值为[*]

解析
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