已知△ABC的面积为S，三边长分别为a、b、c．在该三角形内求一点P，使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大．要求求出使乘积为最大时的这三个距离及此乘积的最大值．

admin2020-03-08 76

问题已知△ABC的面积为S，三边长分别为a、b、c．在该三角形内求一点P，使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大．要求求出使乘积为最大时的这三个距离及此乘积的最大值．

选项

答案设点P到三边a、b、c的距离分别为x、y、z，于是[*] 即 ax+by+cz一2S=0．命F(x，y，z，λ)=xyz+λ(ax+by+cz一2S)，由拉格朗日乘数法，[*] 解得[*] 当点P在三角形的边上时，xyz=0．而P在三角形内部时，xyz＞0．所以当点P在三角形内部时，乘积xyz有最大值．今求得唯一的(x，y，z)．所以当 [*] 时，xyz最大，最大值为[*]

解析

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考研数学一

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已知△ABC的面积为S，三边长分别为a、b、c．在该三角形内求一点P，使该点到△ABC三边的距离的乘积为最大．要求求出使乘积为最大时的这三个距离及此乘积的最大值．

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