[2002年] 设函数f(u)可导，y=f(x2)．当自变量x在x=一1处取得增量Δx=一0．1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0．1，则f＇(1)=( )．

admin2021-01-19 81

问题 [2002年] 设函数f(u)可导，y=f(x²)．当自变量x在x=一1处取得增量Δx=一0．1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0．1，则f＇(1)=( )．

选项 A、一1
B、0．1
C、1
D、0．5
E、

答案D

解析 Δy的线性主部就是y=f(x)的微分dy=f＇(x)dx，而y=f(x²)的微分为
dy=f＇(x²)d(x²)=f＇(x)·2x dx．
因Δy=y＇Δx+o(Δx)，其中y＇Δx称为Δy的线性主部．即y的微分dy=y＇(x)dx为Δy的线性主部．对y=f(x²)求微分，利用一阶微分形式不变性得到
dy=df(x²)=f＇(x²)dx²=2xf′(x²)dx．
由题设有x=一1，dx=Δx=一0．1，dy=0．1，将它们代入上式得到0．1=2(－1)f′[(－1)²](一0．1)，即 f′(1)=0．5．

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考研数学二

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