已知4维列向量α1,α2,α3线性无关,若βi(i=1,2,3,4)非零且与α1,α2,α3均正交,则r(β4,β2,β3,β4)=( )

admin2016-01-22  32

问题 已知4维列向量α1,α2,α3线性无关,若βi(i=1,2,3,4)非零且与α1,α2,α3均正交,则r(β4,β2,β3,β4)=(     )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案A

解析 本题主要考查向量组正交及齐次线性方程组基础解系定理,是一道有一定难度的综合题.
由题设知αiTβi=0(i=1,2,3;j=1,2,3,4).令

则矩阵A是秩为3的3×4阶矩阵,且

即β1,β2,β3,β4均为齐次线性方程组Ax=0的解,从而
r(β1,β2,β3,β4)≤n一r(a)=4一一3=1.
又r(β1,β2,β3,β4)≥1.
所以r(β1,β2,β3,β4)=1.
故应选(A).
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