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已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2,其二次型矩阵A满足r(ATA)=2. 求正交变换x=Qy,把f(x1，x2，x3)化成标准形。
已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2,其二次型矩阵A满足r(ATA)=2. 求正交变换x=Qy,把f(x1，x2，x3)化成标准形。
admin
2022-03-23
76
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(1－a)x
1
2
+(1－a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
,其二次型矩阵A满足r(A
T
A)=2.
求正交变换x=Qy,把f(x
1
，x
2
，x
3
)化成标准形。
选项
答案
由第一问得知， 当a=0时，则有 [*]=λ(λ－2)
2
=0 得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0 当λ
1
=λ
2
=2时，解(2E－A)x=0，得ξ
1
=(1,1,0)
T
，ξ
2
=（0，0,1）
T
当λ
3
=0时，解(0E－A)x=0,得ξ
3
=（－1,1,0）
T
由ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
已两两正交，单位化即可，η
1
=[*](1,1,0)
T
，η
2
=(0,0,1)
T
，η
3
=[*](－1,1,0)
T
令Q=(η
1
，η
2
，η
3
),则Q为正交矩阵，作x=Qy有f(x
1
，x
2
，x
3
)=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
=2y
1
2
+2y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/HIR4777K
0
考研数学三
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