2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2,其二次型矩阵A满足r(ATA)=2. 求正交变换x=Qy,把f(x1，x2，x3)化成标准形。

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2,其二次型矩阵A满足r(ATA)=2. 求正交变换x=Qy,把f(x1，x2，x3)化成标准形。

admin2022-03-23  59
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2,其二次型矩阵A满足r(ATA)=2.
求正交变换x=Qy,把f(x1，x2，x3)化成标准形。
选项
答案由第一问得知， 当a=0时，则有 [*]=λ(λ－2)2=0 得A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0 当λ1=λ2=2时，解(2E－A)x=0，得ξ1=(1,1,0)T，ξ2=（0，0,1）T 当λ3=0时，解(0E－A)x=0,得ξ3=（－1,1,0）T 由ξ1，ξ2，ξ3已两两正交，单位化即可，η1=[*](1,1,0)T，η2=(0,0,1)T，η3=[*](－1,1,0)T 令Q=(η1，η2，η3),则Q为正交矩阵，作x=Qy有f(x1，x2，x3)=λ1y12+λ2y22+λ3y32=2y12+2y22.
解析
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考研数学三

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