设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=-1，已知曲线积分与积分路径无关，求f(x)．

admin2020-04-30 38

问题设f(x)有二阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=-1，已知曲线积分

与积分路径无关，求f(x)．

选项

答案设P=[xe^2x-6f(x)]sin y，Q=-[5f(x)-f’(x)]cosy．由题意[*]，即 [*] 整理得f”(x)-5f’(x)+6f(x)=xe^2x，其对应的齐次方程的通解为Y=C₁e^2x+C₂e^3x．由于2是特征根，设特解形式为y^*=x(Ax+B)e^2x．代入原方程得A=-1/2，B=-1，于是原方程通解为 [*] 由f(0)=0，f’(0)=-1，得C₁=C₂=0，因而[*]

解析本题考查平面曲线与路径无关的充要条件和二阶线性微分方程的初值问题．由曲线积分与路径无关的充要条件

1578得到f(x)满足的微分方程，结合初始条件确定特解．

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考研数学一

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