2. 考研
  3. 已知f（x），g（x）连续，且满足f（x）=3x2+∫02g（x）dx，g（x）=一x3+3x2∫02f（x）dx，求F（x）=f（x）+g（x）的极大值与极小值．

已知f（x），g（x）连续，且满足f（x）=3x2+∫02g（x）dx，g（x）=一x3+3x2∫02f（x）dx，求F（x）=f（x）+g（x）的极大值与极小值．

admin2022-06-19  10
问题 已知f（x），g（x）连续，且满足f（x）=3x2+∫02g（x）dx，g（x）=一x3+3x2∫02f（x）dx，求F（x）=f（x）+g（x）的极大值与极小值．
选项
答案对函数g(x)两边作定积分 ∫02g(x)dx=∫02(一x3)dx+∫02f(x)dx.∫023x2dx=一4+8∫02f(x)dx 将其代入f(x)中，得f(x)=3x2—4+8∫02f(x)dx 对上式两边作定积分 ∫02f(x)dx=∫02(3x2一4)dx+16∫02f(x)dx=16∫02f(x)dx 从而可知∫02f(x)dx=0， 所以g(x)=一x3，f(x)=3x2+∫02(一x3)dx=3x2—4 故F(x)=一x3+3x2—4，F’(x)=一3x2+6x=0，得驻点x=0，x=2．F"(0)=6＞0，F"(2)=一6＜0 从而F(x)有极小值F(0)=一4，极大值F(2)=0．
解析
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考研数学三

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