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已知f(x),g(x)连续,且满足f(x)=3x2+∫02g(x)dx,g(x)=一x3+3x2∫02f(x)dx,求F(x)=f(x)+g(x)的极大值与极小值.
已知f(x),g(x)连续,且满足f(x)=3x2+∫02g(x)dx,g(x)=一x3+3x2∫02f(x)dx,求F(x)=f(x)+g(x)的极大值与极小值.
admin
2022-06-19
9
问题
已知f(x),g(x)连续,且满足f(x)=3x
2
+∫
0
2
g(x)dx,g(x)=一x
3
+3x
2
∫
0
2
f(x)dx,求F(x)=f(x)+g(x)的极大值与极小值.
选项
答案
对函数g(x)两边作定积分 ∫
0
2
g(x)dx=∫
0
2
(一x
3
)dx+∫
0
2
f(x)dx.∫
0
2
3x
2
dx=一4+8∫
0
2
f(x)dx 将其代入f(x)中,得f(x)=3x
2
—4+8∫
0
2
f(x)dx 对上式两边作定积分 ∫
0
2
f(x)dx=∫
0
2
(3x
2
一4)dx+16∫
0
2
f(x)dx=16∫
0
2
f(x)dx 从而可知∫
0
2
f(x)dx=0, 所以g(x)=一x
3
,f(x)=3x
2
+∫
0
2
(一x
3
)dx=3x
2
—4 故F(x)=一x
3
+3x
2
—4,F’(x)=一3x
2
+6x=0,得驻点x=0,x=2.F"(0)=6>0,F"(2)=一6<0 从而F(x)有极小值F(0)=一4,极大值F(2)=0.
解析
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0
考研数学三
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