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设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限证明: 设A<B,则对μ∈(A,B),ξ∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ;
设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限证明: 设A<B,则对μ∈(A,B),ξ∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ;
admin
2019-02-20
54
问题
设f(x)在(-∞,+∞)连续,存在极限
证明:
设A<B,则对
μ∈(A,B),
ξ∈(-∞,+∞),使得f(ξ)=μ;
选项
答案
【证法一】 利用极限的性质转化为有界区间的情形. (I)由[*]及极限的不等式性质可知,[*]X
1
使得f(X
1
)<μ. 由[*]可知,[*]X
2
>X
1
使得f(X
2
)>μ.因f(x)在[X
1
,X
2
]连续,f(X
1
)<μ<f(X
2
),由连续函数介值定理知[*]ξ∈(X
1
,X
2
)[*](-∞,+∞),使得f(ξ)=μ. 【证法二】 利用变量替换与构造辅助函数的方法转化为有界区间的情形. 令t=arctanx,即x=tant,x∈(-∞,+∞)[*]再令 [*] 由复合函数的连续性知F(t)=f(tant)在[*]连续.又 [*] 同理 [*] 因此F(t)在[*]连续. 因[*]由连续函数介值定理知存在[*]使得F(t
*
)=μ,令ξ=tant
*
,则ξ∈(-∞,+∞),f(ξ)=f(tant
*
)=F(t
*
)=μ.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/HLP4777K
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考研数学三
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