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  3. 设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限证明： 设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；

设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限证明： 设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；

admin2019-02-20  59
问题 设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限证明：
设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；
选项
答案【证法一】 利用极限的性质转化为有界区间的情形． (I)由[*]及极限的不等式性质可知，[*]X1使得f(X1)＜μ． 由[*]可知，[*]X2＞X1使得f(X2)＞μ．因f(x)在[X1，X2]连续，f(X1)＜μ＜f(X2)，由连续函数介值定理知[*]ξ∈(X1，X2)[*](－∞，+∞)，使得f(ξ)=μ． 【证法二】 利用变量替换与构造辅助函数的方法转化为有界区间的情形． 令t=arctanx，即x=tant，x∈(－∞，+∞)[*]再令 [*] 由复合函数的连续性知F(t)=f(tant)在[*]连续．又 [*] 同理 [*] 因此F(t)在[*]连续． 因[*]由连续函数介值定理知存在[*]使得F(t*)=μ，令ξ=tant*，则ξ∈(－∞，+∞)，f(ξ)=f(tant*)=F(t*)=μ．
解析
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考研数学三

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