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  3. [2016年] 已知函数z=z(x，y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定．求z=z(x，y)的极值．

[2016年] 已知函数z=z(x，y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定．求z=z(x，y)的极值．

admin2019-04-05  50
问题 [2016年]  已知函数z=z(x，y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定．求z=z(x，y)的极值．
选项
答案 先由z′x=0，z′y=0，求出所有驻点，对每一个驻点(x0，y0)，求出A=f″xx(x0，y0)， B=f″xy(x0，y0)，C=f″yy(x0，y0)的值，再利用命题1．4．3．2判别之，并求出其极值． (1)先求出驻点．为此在所给方程两边分别对x，y求偏导，得到 2xz+(x2+y2)[*]+2=0， ① 由对称性即得 2yz+(x2+y2)[*]+2=0， ② 令[*]得到[*] 即[*](z=0，lnz没有意义，舍去)，故[*] 当x≠0时，将z=[*]，y=x代入原方程得ln(一[*])=一2(x+1)，即一[*]=e-2(x+1)，因而zx=一1．于是y0一x0=一1，z0=1，即所求驻点(z0，y0，z0)=(一l，一1，1)． 当x=0时，由xz+1=0得到1=0矛盾，故方程①无解． (2)求出A，B，C在驻点处的值，为此在方程①两边分别对x，y求偏导，得到 [*] 在式②两边对y求偏导，得到 [*]⑤ 得x=x0=－1，y=y0=一1，z=z0=1．代入式③，式④，式⑤得到 [*] 因AC—B2=[*]＞0，A＜0，由命题1.4．3．2知，函数在x0=一1，y0=一1处取极大值，且极大值为1．
解析
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考研数学二

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