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[2016年] 已知函数z=z(x,y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定.求z=z(x,y)的极值.
[2016年] 已知函数z=z(x,y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定.求z=z(x,y)的极值.
admin
2019-04-05
51
问题
[2016年] 已知函数z=z(x,y)由方程(x
2
+y
2
)z+lnz+2(x+y+1)=0确定.求z=z(x,y)的极值.
选项
答案
先由z′
x
=0,z′
y
=0,求出所有驻点,对每一个驻点(x
0
,y
0
),求出A=f″
xx
(x
0
,y
0
), B=f″
xy
(x
0
,y
0
),C=f″
yy
(x
0
,y
0
)的值,再利用命题1.4.3.2判别之,并求出其极值. (1)先求出驻点.为此在所给方程两边分别对x,y求偏导,得到 2xz+(x
2
+y
2
)[*]+2=0, ① 由对称性即得 2yz+(x
2
+y
2
)[*]+2=0, ② 令[*]得到[*] 即[*](z=0,lnz没有意义,舍去),故[*] 当x≠0时,将z=[*],y=x代入原方程得ln(一[*])=一2(x+1),即一[*]=e
-2(x+1)
,因而zx=一1.于是y
0
一x
0
=一1,z
0
=1,即所求驻点(z
0
,y
0
,z
0
)=(一l,一1,1). 当x=0时,由xz+1=0得到1=0矛盾,故方程①无解. (2)求出A,B,C在驻点处的值,为此在方程①两边分别对x,y求偏导,得到 [*] 在式②两边对y求偏导,得到 [*]⑤ 得x=x
0
=-1,y=y
0
=一1,z=z
0
=1.代入式③,式④,式⑤得到 [*] 因AC—B
2
=[*]>0,A<0,由命题1.4.3.2知,函数在x
0
=一1,y
0
=一1处取极大值,且极大值为1.
解析
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考研数学二
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