[2008年] 设f(x)=x2(x一1)(x一2)．则f′(x)的零点个数为( )．

admin2019-04-05 46

问题 [2008年] 设f(x)=x²(x一1)(x一2)．则f′(x)的零点个数为( )．

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案D

解析直接求出f′(x)=0的根或由命题1．2．5．7求之．
解一令f′(x)=2x(x一1)(x一2)+x²(x一1)+x²(x一2)=x(4x²一9x+4)=0．①
可得f′(x)的零点个数为3．仅(D)入选．
解二因f(0)=f(1)=f(2)=0，即f(x)有3个不同的实根．由命题1．2．5．7知f′(x)在(0，2)内有2个实根．事实上，对f(x)分别在区间[0，1]，[1，2]上使用罗尔定理得到f′(x)在(0，1)和(1，2)内各至少有一个根．又x=0为f(x)=0的二重根，且由同一命题知x=0为f′(x)=0的根．因而f′(x)=0有3个根，即f′(x)的零点个数为3．仅(D)入选．

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